Twierdzenie 

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ prawdziwe są wzory:

1) ${\left(a+b\right)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\to$   sześcian sumy

2) ${\left(a-b\right)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3\to$   sześcian różnicy

3) $a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\to$   suma sześcianów 

4) $a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\to$   różnica sześcianów

Przykład 1. Zapisz w postaci sumy algebraicznej:

a) ${\left(2x-3\right)}^3={\left(2x\right)}^3-3\cdot {\left(2x\right)}^2\cdot 3+3\cdot 2x\cdot 3^2-3^3=8x^3-3\cdot 4x^2\cdot 3+3\cdot 2x\cdot 9-27=$

$=8x^3-36x^2+54x-27$

b) ${\left(\frac{1}{2}a+2b\right)}^3={\left(\frac{1}{2}a\right)}^3+3\cdot {\left(\frac{1}{2}a\right)}^2\cdot 2b+3\cdot \frac{1}{2}a\cdot {\left(2b\right)}^2+{\left(2b\right)}^3=$

 $=\frac{1}{8}{a}^3+3\cdot \frac{1}{4}{a}^2\cdot 2b+3\cdot \frac{1}{2}a\cdot 4b^2+8b^3=\frac{1}{8}{a}^3+\frac{6}{4}{a}^{2}b+\frac{12}{2}a{b}^2+8b^3=\frac{1}{8}{a}^3+\frac{3}{2}{a}^{2}b+6a{b}^2+8b^3$