Twierdzenie Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ prawdziwe są wzory:

1) ${\left(a+b\right)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$    - sześcian sumy

2) ${\left(a-b\right)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$    - sześcian różnicy

3) $a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)$    - suma sześcianów 

4) $a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b\right)$    - różnica sześcianów

Przykład 1. Zapisz w postaci sumy algebraicznej

a) ${\left(2x-3\right)}^3={\left(2x\right)}^3-3\cdot {\left(2x\right)}^2\cdot 3+3\cdot 2x\cdot 3^2-3^3=8x^3-3\cdot 4x^2\cdot 3+3\cdot 2x\cdot 9-27=$

$=8x^3-24x^2+54x-27$

b) ${\left(\frac{1}{2}a+2b\right)}^3={\left(\frac{1}{2}a\right)}^3+3\cdot {\left(\frac{1}{2}a\right)}^2\cdot 2b+3\cdot \frac{1}{2}a\cdot {\left(2b\right)}^2+{\left(2b\right)}^3=$

 $=\frac{1}{8}{a}^3+3\cdot \frac{1}{4}{a}^2\cdot 2b+3\cdot \frac{1}{2}a\cdot 4b^2+8b^3=\frac{1}{8}{a}^3+\frac{6}{4}{a}^{2}b+\frac{12}{2}a{b}^2+8b^3=$

$=\frac{1}{8}{a}^3+\frac{3}{2}{a}^{2}b+6a{b}^2+8b^3$

c) $\left(a+4\right)\left(a^2-4a+16\right)=\left(a+4\right)\left(a^2-4a+4^2\right)=a^3+4^3=a^3+64$

d) $\left(2x-3\right)\left(4x^2+6x+9\right)=\left(a+4\right)\left({\left(2x\right)}^2+2x\cdot 3+3^2\right)={\left(2x\right)}^3+3^3=8x^3+27$

---

Zadanie 1. Dokończ poniższe zdanie wybierając właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wyrażenie $64x^3+y^6$ można zapisać dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i $y$ w postaci iloczynowej jako

A. $\left(4x+y\right)\left(16x^2+4xy+y\right)$            B. ${\left(8x+y^2\right)}^3$                C. $\left(4x+y^2\right)\left(16x^2-4x{y}^2+y^4\right)$             D. ${\left(4x+y^2\right)}^3$

Rozwiązanie

$64x^3+y^6={\left(4x\right)}^3+{\left(y^2\right)}^3=\left(4x+y^2\right)\left(16x^2-4x{y}^2+y^4\right)$

Odp. C

---

Zadanie 2. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe lub F - jeśli jest fałszywe.

Wyrażenie $8a^3-b^3$ można przekształcić równoważnie do postaci $\left(2x-b\right)\left(4a^2+2ab+b^2\right)$.	P	F
Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wartość wyrażenie ${\left(\sqrt{2}+x\right)}^3-3x\left(\sqrt{2}x+\frac{1}{3}{x}^2\right)-6x$ wynosi $2\sqrt{2}$.	P	F

Rozwiązanie

Zdanie pierwsze

$8a^3+b^3={\left(2a\right)}^3+b^3=\left(2a-b\right)\left(4a^2+2ab+b^2\right)$

Zdanie jest prawdziwe.

Zdanie drugie

${\left(\sqrt{2}+x\right)}^3-3x\left(\sqrt{2}x+\frac{1}{3}{x}^2\right)-6x=?$

${\left(\sqrt{2}+x\right)}^3={\left(\sqrt{2}\right)}^3+3\cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^2\cdot x+3\cdot \sqrt{2}\cdot x^2+x^3=\sqrt{8}+3\cdot 2\cdot x+3\sqrt{2}{x}^2+x^3=$

$=2\sqrt{2}+6x+3\sqrt{2}{x}^2+x^3$

${\left(\sqrt{2}+x\right)}^3-3x\left(\sqrt{2}x+\frac{1}{3}{x}^2\right)-6x=2\sqrt{2}+6x+3\sqrt{2}{x}^2+x^3-3\sqrt{2}{x}^2-1x^3-6x=2\sqrt{2}$

Zdanie jest prawdziwe.

Odp. P, P

---

Zadanie 3. Dane są dwie liczby różne od zera liczby rzeczywiste $x$ i $y$, o których wiadomo, że $x^3-y^3={\left(x-y\right)}^3$. Oblicz wartość liczbową wyrażenia $\frac{y}{x}$ dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ i $y$ podanych w zadaniu.

Rozwiazanie

$x,y\in \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}$

$x^3-y^3={\left(x-y\right)}^3$ 

$x^3-y^3=x^3-3x^{2}y+3x{y}^2-y^3\text{|}-x^3,+y^3$

$x,y\ne 0$

$0=-3x^{2}y+3x{y}^2\text{|}:3xy$

$0=-x+y$

$x=y$

Więc

$\frac{y}{x}=\frac{y}{y}=1$

Odp.: Wyrażenie $\frac{y}{x}=1$dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ i $y$ podanych w zadaniu.