Zadanie 2. Zestaw danych liczbowych składa się z $k$ liczb $1$, $k$ liczb $2$ oraz $k$ liczb $3$,
gdzie $k$ jest dodatnią liczbą naturalną.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odchylenie standardowe tego zestawu liczb to:

A. $2$                       B. $1$                       C. $\frac{2}{3}$                       D. $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Rozwiązanie

$\underset{k\text{liczb}}{\underbrace{1,1,\dots ,1,}}\underset{k\text{liczb}}{\underbrace{2,2,\dots ,2,}}\underset{k\text{liczb}}{\underbrace{3,3,\dots ,3}}$

$\overline{x}=\frac{k\cdot 1+k\cdot 2+k\cdot 3}{k+k+k}=\frac{k+2k+3k}{3k}=\frac{6k}{3k}=2$

${\sigma }^2=\frac{k\cdot {\left(1-2\right)}^2+k\cdot {\left(2-2\right)}^2+k\cdot {\left(3-2\right)}^2}{k+k+k}=\frac{k\cdot {\left(-1\right)}^2+k\cdot 0^2+k\cdot 1^2}{3k}=\frac{k+0+k}{3k}=\frac{2k}{3k}=\frac{2}{3}$ 

$\sigma =\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$