Poruszymy w tym filmie temat, który pojawił się już po części w dziale poświęconym funkcji liniowej, a będziemy mianowicie mówić o prostej.

Definicja

Równanie kierunkowe prostej to równanie postaci $y=ax+b$, gdzie:

• $a$ to współczynnik kierunkowy 
• $b$ to wyraz wolny

W tym miejscu warto też dodać, że równaniem kierunkowym można opisać jedynie te proste, które nie są równoległe do osi y, czyli takie proste, które są wykresami funkcji liniowych. Aby opisac dowolną prostą w układzie współrzędnych można wykorzystać równanie ogólne prostej, o którym powiemy za chwilę.

Przypomnijmy też twierdzenia dotyczące współczynników a i b. Rozpoczniemy od wzoru na współczynnik kierunkowy prostej, która przechodzi przez dwa różne punkty. Jeśli odejmiemy y-owe współrzędne tych punków i podzielimy ten wynik przez różnicę ich x-owych współrzędnych, to dostaniemy właśnie współczynnik kierunkowy prostej.

Twierdzenie

Dana jest proste o wzorze $y=ax+b$. Przechodzi ona przez dwa różne punkty: $P_1=\left(x_1,y_1\right)$, $P_2=\left(x_2,y_2\right)$. Współczynnik kierunkowy tej prostej dany jest wzorem:

$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

 

Twierdzenie to już pojawiło się w przypadku omawiania funkcji liniowej. Dodatkowo pamiętajcie, że wzór tej znajdziecie w tablicach maturalnych, więc nie musicie się martwić, gdy go zapomnicie.

Spójrzmy jeszcze na szybkie ćwiczenie, w którym zastosujemy ten wzór.

 

Przykład 1. Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty: $A=\left(2,-3\right)$ i $B=\left(-3,7\right)$.

$a=\frac{7-\left(-3\right)}{-3-2}=\frac{7+3}{-5}=\frac{10}{-5}=-2$

 

Powiemy teraz o jeszcze jednym twierdzeniu związanym ze współczynnikiem kierunkowym prostej. Tym razem jest ono powiązane z trygonometrią. Okazuje się, że współczynnik kierunkowy prostej jest równy tangensowi kąta nachylenia tej prostej do osi x.

Jeśli oznaczymy ten kąta przez alfa, to możemy zapisać, że a równa się tangens alfa.

 

Twierdzenie

Współczynnik kierunkowy $a$ prostej o równaniu $y=ax+b$ jest równy tangensowi kąta nachylenia tej prostej do osi $Ox$. Jeśli prosta ta jest nachylona do osi $Ox$pod kątem $\alpha$ i $\alpha \in \left[0^{\circ },90^{\circ }\right)\cup \left(90^{\circ },180^{\circ }\right)$, to $a=\mathrm{tg}\alpha$.

rys.

 

Przykład 2. Wyznacz miarę kąta, który prosta o równaniu $y=x-4$ tworzy z osią $Ox$.

$a=1$

$\mathrm{tg}\alpha =1⟶\alpha =45^{\circ }$

 

Przypomnimy sobie teraz pewne twierdzenie związane ze współczynnikiem b. Również było ono już poruszane w dziale poświęconym funkcji liniowej.

Mówi ono, że punkt przecięcia prostej z osią y ma współrzędne 0 i b. Czyli jeśli mamy podaną postać kierunkową prostej, to jej wyraz wolny to druga współrzędna punktu przecięcia tej prostej z osią y.

Twierdzenie

Dana jest prosta o równaniu $y=ax+b$. Punkt przecięcia tej prostej z osią $Oy$ to punkt $P=\left(0,b\right)$.

Przykład 3

Jeśli prosta dana jest równaniem $y=-x+5$, to przecina ona oś $Oy$ w punkcie $P=\left(0,5\right)$.

---

 W geometrii analitycznej możemy też spotkać się z równaniem ogólnym prostej, które jest postaci Ax+By+C=0, gdzie jedna liczb: A lub B jest różna od zera.

 

Definicja

Równanie ogólne prostej to równanie postaci $Ax+By+C=0$, gdzie $A\ne 0$ lub $B\ne 0$.

 

 Przykład 4. Przekształć równanie ogólne prostej do postaci kierunkowej.

$2x-4y-16=0|+4y$

$2x-16=4y|:4$

$\frac{2}{4}x-4=y$

$y=\frac{1}{2}x-4$

Przykład 5. Przekształć równanie kierunkowe prostej do postaci ogólnej.

$y=-2x+3|-y$

$0=-2x-y+3$

Wtedy:

$A=-2$, $B=-1$, $C=3$

---

PRAKTYKA

---

Po prawej:

Jeśli prosta przechodzi przez punkt $P=\left(x_p,y_p\right)$, to możemy wstawić do równania w miejsce $x$ pierwszej współrzędnej tego punktu, a w miejsce $y$ - drugą jego współrzędną.

---

Zadanie 1. Prosta $l$ o równaniu $y=3x-\left(6m-1\right)$ przechodzi przez punkt $P=\left(4,1\right)$.

Dokończ zdania. Wybierz odpowiedzi spośród A–D i E-H.

1.1. Parametr $m$ jest równy

A. $-\frac{1}{2}$                             B. $0$                                  C. $1$                              D. $2$ 

 1.2. Postać ogólna prostej $l$ to

 A. $-3x+y+11=0$            B. $-3x+y+11=0$           C. $-3x+y+11=0$             D. $-3x+y+11=0$

Rozwiązanie 1.1

$1=3\cdot 4-\left(6m-1\right)$ 

 $1=12-6m+1$

$1=13-6m|-13$

$-12=-6m$

$m=2$

Rozwiązanie 1.2

$y=3x-\left(6\cdot 2-1\right)$

$y=3x-11$

$y-3x+11=0$

$-3x+y+11=0$

---

Zadanie 2. Na płaszczyźnie w kartezjańskim układzie współrzędnych $\left(x,y\right)$ dane są dwa punkty: $P=\left(-3,4\right)$, $Q=\left(7,8\right)$. Punkty $P^{\prime }$ i $Q^{\prime }$ są kolejno obrazami punktów $P$ i $Q$ w symetrii środkowej o środku w punkcie $O=\left(0,0\right)$.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prosta przechodząca przez punkty $P^{\prime }$ i $Q^{\prime }$ ma współczynnik kierunkowy równy

A. $\frac{2}{5}$                             B. $\frac{5}{2}$                                  C. $1$                              D. $-1$ 

Rozwiązanie

$P^{\prime }=\left(3,-4\right)$ 

 $Q^{\prime }=\left(-7,-8\right)$ 

 $a=\frac{-8-\left(-4\right)}{-7-3}=\frac{-8+4}{-10}=\frac{-4}{-10}=\frac{2}{5}$

---

Zadanie 3. Na płaszczyźnie w kartezjańskim układzie współrzędnych $\left(x,y\right)$ została naszkicowana prosta $k$ o równaniu $y=ax-12$. Wiadomo, że prosta $k$ jest nachylona do osi $x$ pod kątem $30^{\circ }$.

3.1. Dokończ zdania. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prosta $k$ opisana jest równaniem

A. $\sqrt{3}x+3y-36=0$            B. $\sqrt{3}x-y-12=0$           C. $\sqrt{3}x+y-12=0$             D. $\sqrt{3}x-3y-36=0$

Rozwiązanie

$a=\mathrm{tg}30^{{}^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-12|-y$

$0=\frac{\sqrt{3}}{3}x-12-y|\cdot 3$

$0=\sqrt{3}x-36-3y$

$\sqrt{3}x-3y-36=0$

3.2. Dokończ zdanie wpisując odpowiednią liczbę rzeczywistą.

Druga współrzędna punktu przecięcia prostej $k$ z osią rzędnych to .................. .

Rozwiązanie

Prosta $k$ przecina oś rzędnych, czyli oś $Oy$ w punkcie $\left(0,-12\right)$. Druga współrzędna tego punktu to $-12$.

Druga współrzędna punktu przecięcia prostej $k$ z osią rzędnych to $\stackrel{-12}{{}_{.................}}$.

po prawej:

Twierdzenie

Dana jest prosta o równaniu $y=ax+b$. Punkt przecięcia tej prostej z osią $Oy$ to punkt $P=\left(0,b\right)$.