Twierdzenie

Długość odcinka $AB$ o końcach w punktach $A=\left(x_A,y_A\right)$ i $B=\left(x_B,y_B\right)$ jest równa:

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}$

rysunek "długość odc."

"Inaczej możemy powiedzieć, że jest to odległość pomiędzy punktami A i B."

Jeśli po połączeniu punktów powstałby odcinek równoległy do osi x lub y, to odległość między tymi punktami można po prostu podać patrząc na współrzędne tych punktów, inaczej możemy powiedzieć, że wystarczy ją wtedy policzyć po kratkach, natomiast gdy po połączeniu punktów dostaniemy inny odcinek tak jak np. widzimy na rysunku, to zauważmy, że odległość tą możemy również policzyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Powstały odcinek jest wtedy przyprostokątną takiego trójkąta i musimy jeszcze dorysować odcinki będące jego przyprostokątnymi, tak by były one równoległe do osi x i y by łatwo było obliczyć ich długość. (rysunek "długość odc.2") Następnie jeśli bęziemy już mieć długości przyprostokątnych to obliczamy długośc przeciwprostokątnej korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Przećwiczmy to od razu na przykładzie. 

W ćwiczeniu pierwszym musimy obliczyć długość odcinka AB. Rozwiążemy to zadanie dwiema metodami. Najpierw wykorzystamy podany przed chwilą wzór

Przykład 1.  Oblicz długość odcinka $AB$, jeśli $A=\left(2,8\right)$, $B=\left(-10,3\right)$.

I sposób

"Zauważ, że nie ma tutaj znaczenia, czy obliczymy długość odcinka AB, czy BA, czyli współrzędne którego punktu punktu weźmiemy na początku."

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(-10-2\right)}^2+{\left(3-8\right)}^2}=\sqrt{{\left(-12\right)}^2+{\left(-5\right)}^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$

II sposób

Rozwiązujemy to zadanie jeszcze w sposób graficzny wykorzystując twierdzenie Pitagorasa. Musimy najpierw w układzie współrzędnych zaznaczyć podane punkty, naszkicować odcinek łączący te punktu i dodatkowo dwa odcinki tworzące z nim trójkąt prostokątny.

rys "długość odc.3"

Zauważmy, że wtedy jedna z przyprostokątnych ma długość 5, a druga 12. rys "długość odc.4" Długość przeciwprostokątnej oznaczymy jako x.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy:

$12^2+5^2=x^2$

$144+25=x^2$

$169=x^2$

Pamiętamy, że x jako długość boku jest liczbą dodatnią, więc wtedy x to 13.

$x=13,\text{bo}x>0$

W kolejnych zadaniach będziemy obliczać odległość między punktami korzystając z podanego wzoru, żeby nie tracić czasu na wykonywanie rysunku pomocniczego. Przyjrzyjmy się teraz zadaniom typu maturalnego, w których zastosujemy zdobytą przed chwilą wiedzę.

---

Zadanie 1. Dane są punkty $M=\left(-6,6\right)$ i $N=\left(3,3\right)$. 

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odległość punktu $M$ od punktu $N$ jest równa

A. $3\sqrt{2}$                B. $3\sqrt{10}$                C. $6\sqrt{2}$                 D. $10\sqrt{3}$

Rozwiązanie

$\left|MN\right|=\sqrt{{\left(3-\left(-6\right)\right)}^2+{\left(3-6\right)}^2}=\sqrt{{\left(3+6\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=$

$=\sqrt{9^2+9}=\sqrt{81+9}=\sqrt{90}=\sqrt{9\cdot 10}=3\sqrt{10}$

---

Zadanie 2. Punkty $A=\left(3,2\right)$ i $B=\left(-5,-4\right)$ są sąsiednimi wierzchołkami rombu $ABCD$.

Dokończa zdanie, wpisując w puste miejsce odpowiednią liczbę rzeczywistą.

Obwód tego rombu jest równy .................. .

Rozwiązanie

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(-5-3\right)}^2+{\left(-4-2\right)}^2}=\sqrt{{\left(-8\right)}^2+{\left(-6\right)}^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$

$Ob=4\cdot 10=40$

Obwód tego rombu jest równy $\stackrel{40}{{}_{...................}}$ .

---

Zadanie 3. Dane są punkty $P=\left(2,0\right)$ i $Q=\left(6,-4\right)$. Punkt $P_1$ jest obrazem punktu $P$ w symetrii względem osi $Oy$, natomiast punkt $Q_1$ jest obrazem punktu $Q$ w symetrii względem osi $Ox$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek $P_1{Q}_1$ ma długość

A. $4\sqrt{2}$                B. $16\sqrt{5}$                C. $4\sqrt{5}$                 D. $16\sqrt{2}$

Rozwiązanie

$P_1=\left(-2,0\right)$

$Q_1=\left(6,4\right)$

$\left|P_1{Q}_1\right|=\sqrt{{\left(6-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(4-0\right)}^2}=\sqrt{{\left(6+2\right)}^2+4^2}=$

$=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot 5}=4\sqrt{5}$

---

Zadanie 4. Punkty $A=\left(-10,15\right)$ i $C=\left(-25,-20\right)$są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu $ABCD$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole kwadratu $ABCD$ wynosi

A. $725$                B. $1000$                C. $1450$                 D. $2900$

Rozwiązanie

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(-25-\left(-10\right)\right)}^2+{\left(-20-15\right)}^2}=\sqrt{{\left(-25+10\right)}^2+{\left(-35\right)}^2}=$ 

 $=\sqrt{{\left(-15\right)}^2+1225}=\sqrt{225+1225}=\sqrt{1450}=\sqrt{25\cdot 58}=5\sqrt{58}$

Oznaczmy przez $a$ długość boku kwadratu $ABCD$.

$a\sqrt{2}=5\sqrt{58}$

$a=\frac{5\sqrt{58}}{\sqrt{2}}=5\sqrt{29}$

$P=a^2={\left(5\sqrt{29}\right)}^2=25\cdot 29=725$

---

Zadanie 5. Punkty $A=\left(-6,3\right)$ i $B=\left(2,-9\right)$ są wierzchołkami trójkąta równobocznego $ABC$.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednie litery spośród A-F tak, aby zdanie było prawdziwe.

Obwód trójkąta $ABC$ wynosi .................. , natomiast jego pole jest równe .................. .

A. $4\sqrt{13}$                                    B. $52\sqrt{3}$                                  C. $6\sqrt{13}$                 
D. $12\sqrt{13}$                                  E. $2\sqrt{39}$                                   F. $13\sqrt{3}$ 

Rozwiązanie

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(2+6\right)}^2+{\left(-9-3\right)}^2}=\sqrt{{\left(8\right)}^2+{\left(-12\right)}^2}=\sqrt{64+144}=\sqrt{208}=\sqrt{16\cdot 13}=4\sqrt{13}$

$Ob=3\cdot 4\sqrt{13}=12\sqrt{13}$

$P=\frac{{\left(4\sqrt{13}\right)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{16\cdot 13\cdot \sqrt{3}}{4}=4\cdot 13\sqrt{3}=52\sqrt{3}$

Obwód trójkąta $ABC$ wynosi $\stackrel{D}{{}_{...................}}$ , natomiast jego pole jest równe $\stackrel{B}{{}_{...................}}$ .