Definicja

Równoległobok 

 

 

 

---

Przykład 1. Różnica miar dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych równoległoboku jest równa $100^{\circ }$. Oblicz miarę kąta rozwartego tego trapezu.

Rozwiązanie

$\alpha$ - miara kąta rozwartego

$\alpha -100^{\circ }$ - miara kąta ostrego

$\alpha +\alpha -100^{\circ }=180^{\circ }$

$2\alpha =280^{\circ }|:2$

$\alpha =140^{\circ }$

Odp.: Kąt rozwarty tego trapezu ma miarę $140^{\circ }$.

---

Przykład 2. W równoległoboku o obwodzie równym $32$ stosunek dwóch wysokości wychodzących z jednego wierzchołka wynosi $3:5$. Oblicz długości boków tego równoległoboku.

Rozwiązanie

$\frac{h_a}{h_b}=\frac{3}{5}$

$a\cdot h_a=b\cdot h_b|:h_b$ $a\cdot \frac{h_a}{h_b}=b$ $a\cdot \frac{3}{5}=b$ $2\cdot \left(a+b\right)=32|:2$ $a+b=16$

$a+\frac{3}{5}a=16$ $\frac{8}{5}a=16|\cdot \frac{5}{8}$ $a=16\cdot \frac{5}{8}=10$ $b=\frac{3}{5}\cdot 10=6$

Odp.: Boki tego równoległoboku mają długości $10$ i $6$.

---

Przykład 3. 

Rozwiązanie

---

Zadanie 1. Punkt $E$ leży na boku $AB$ równoległoboku $ABCD$ w taki sposób, że $2\left|AE\right|=\left|EB\right|$. Pole trójkąta $ADE$ jest równe $5$ (zobacz rysunek).

 

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole równoległoboku $ABCD$ jest równe

A.  $15$                    B.  $20$                    C.  $30$                    D.  $45$

Rozwiązanie

$P_{AED}=\frac{1}{2}\cdot \left|AD\right|\cdot \left|AE\right|\cdot \sin \left(\sphericalangle DAE\right)$

$P_{ABCD}=\left|AD\right|\cdot \left|AB\right|\cdot \sin \left(\sphericalangle DAB\right)$

$\left|AB\right|=\left|AE\right|+\left|EB\right|=\left|AE\right|+2\left|AE\right|=3\left|AE\right|$

$\left|\sphericalangle DAB\right|=\left|\sphericalangle DAE\right|\to \sin \left(\sphericalangle DAB\right)=\sin \left(\sphericalangle DAE\right)$

$P_{ABCD}=\left|AD\right|\cdot 3\left|AE\right|\cdot \sin \left(\sphericalangle DAE\right)=6\cdot \frac{1}{2}\cdot \left|AD\right|\cdot \left|AE\right|\cdot \sin \left(\sphericalangle DAE\right)=6\cdot P_{AED}=6\cdot 5=30$

---

Zadanie 2. Dany jest równoległobok $ABCD$, w którym $\left|AB\right|=6$, $\left|BC\right|=10$ i $\left|\sphericalangle ABC\right|=60^{\circ }$.

Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź spośród A-D oraz odpowiedź spośród E-H.

1. Pole równoległoboku $ABCD$ jest równe

A.  $15\sqrt{3}$                    B.  $30\sqrt{3}$                    C.  $15\sqrt{2}$                    D.  $30$

2. Dłuższa przekątna tego równoległoboku ma długość

E.  $\sqrt{102+60\sqrt{3}}$                    F.  $2\sqrt{19}$                    G.  $14$                    H.  $16$

Rozwiązanie

 $P=6\cdot 10\cdot \sin 60^{\circ }=6\cdot 10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=30\sqrt{3}$

$x^2=6^2+10^2-2\cdot 6\cdot 10\cdot \sin 120^{\circ }$

$x^2=36+100-120\cdot \cos \left(180^{\circ }-60^{\circ }\right)$

$x^2=136-120\cdot \left(-\cos 60^{\circ }\right)$

$x^2=136-120\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$x^2=136+60$

$x^2=196|\sqrt{},x>0$

$x=14$

---

Zadanie 3. Punkty $K$, $L$, $M$ i $N$ są środkami boków czworokąta $ABCD$ (zobacz rysunek).

 

Wykaż, że czworokąt $KLMN$ jest równoległobokiem.

Rozwiązanie

W $\Delta ABD$: $KN\left|\right|BD$ i $\left|KN\right|=\frac{1}{2}\left|BD\right|$ W $\Delta BCD$: $LM\left|\right|BD$ i $\left|LM\right|=\frac{1}{2}\left|BD\right|$ Wniosek: $KN\left|\right|LM$ i $\left|KN\right|=\left|LM\right|$ W $\Delta ABC$: $KL\left|\right|AC$ i $\left|KL\right|=\frac{1}{2}\left|AC\right|$ W $\Delta ADC$: $MN\left|\right|AC$ i $\left|MN\right|=\frac{1}{2}\left|AC\right|$ Wniosek: $KL\left|\right|MN$ i $\left|KL\right|=\left|MN\right|$

---

Podsumowanie