Dwa trójkąty są przystające, jeśli ich odpowiednie boki i kąty są równe.

Jeśli trójkąty $ABC$ i $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ są przystające, to zapisujemy $△ABC\equiv △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

rys.1.1

"Zaczniemy od teorii, która przyda nam się w zrozumieniu zadań typu maturalnego. Dwa trójkąty są przystające, jeśli ich odpowiednie boki i kąty są takie same. Mają one więc taki sam kształt i wielkość.

Jeśli jakieś dwa trójkąty np. ABC i A'B'C' są przystające, to możemy zapisać to w następujący sposób.[podświetlenie ...]

Nie musimy jednak sprawdzać, czy wszystkie kąty i boki są takie same. Przypomnimy teraz twierdzenie, które pomoże nam rozstrzygnąć czy dane twa trójkąty są przystające."

 

Twierdzenie Cechy przystawania trójkątów

Dwa trójkąty są przystające, gdy zachodzi któraś z własności:

• cecha bok-bok-bok
  jeśli wszystkie boki jednego trójkąta są odpowiednia równe trzem bokom drugiego trójkąta
• cecha bok-kąt-bok
  jeśli dwa boki i kąt zawarty między nimi w jednym trójkącie są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi zawartemu między nimi w drugim
  trójkącie
• cecha kąt-bok-kąt
  jeśli bok i dwa leżące przy nim kąty w jednym trójkącie są odpowiednio równe bokowi i dwóm leżącym przy nim kątom w drugim trójkącie

 

---

Dwa trójkąty są podobne, jeśli ich odpowiednie boki są proporcjonalne oraz odpowiednie kąty są równe.

Jeśli trójkąty $ABC$ i $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ są podobne, to zapisujemy $△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Definicja

Skala podobieństwa to stosunek długości odpowiadających sobie odcinków w figurach podobnych (oznaczenie $k$).

 

rys.1.2

Skala podobieństwa trójkąta $ABC$ do trójkąta $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

$k=\frac{\left|AB\right|}{\left|A^{\prime }{B}^{\prime }\right|}=\frac{\left|BC\right|}{\left|B^{\prime }{C}^{\prime }\right|}=\frac{\left|CA\right|}{\left|C^{\prime }{A}^{\prime }\right|}$

Uwaga: Jeżeli dwa trójkąty są podobne, to proporcjonalne są też odpowiadające sobie ich wysokości.

" Dwa trójkąty są podobne, jeśli mają taki sam kształt, ale niekoniecznie taką samą wielkość. Jeśli jakieś dwa trójkąty sa podobne, to możemy zapisać to w następujący sposób.[podświetlenie ...]. Skalą podobieństwa nazywamy stosunek długości odpowiadających sobie odcinków w figurach podobnych, a w naszej sytuacji w trójkątach podobnych. Będziemy ją oznaczać literą k. 

Spójrzmy na następujący rysunek. [rys. ...] Na jego podstawie możemy powiedzieć, że skala podobieństwa trójkąta ABC do trójkąta A'B'C'  to np. stosunek długości boku AB do długości boku A prim B prim . Nie ma znaczenia, jaki stosunek odpowiadających boków weźmiemy, bo zawsze musi on wyjść taki sam. 

Zwróćmy też uwagę, że jeżeli dwa trójkąty są podobne, to proporcjonalne są też odpowiadające sobie ich wysokości."

 

"Okazuje się, że jeśli chcemy sprawdzić, czy jakieś dwa trójkąty są podobne, to tak jak to było w przypadku trójkątów przystających, tak i tutaj -nie musimy  sprawdzać, czy wszystkie kąty takie same i czy  odpowiadające boki są proporcjonalne. Omówmy więc twierdzenie, które pomoże nam w rozstrzyganiu, czy dane twa trójkąty są przystające."

Twierdzenie Cechy podobieństwa trójkątów

Dwa trójkąty są podobne, gdy zachodzi któraś z własności:

• cecha kąt-kąt-kąt
  jeśli wszystkie kąty jednego trójkąta są takie same jak kąty drugiego trójkąta
• cecha bok-bok-bok
  jeśli trzy boki jednego trójkąta są odpowiednio proporcjonalne do trzech boków drugiego trójkąta
• cecha bok-kąt-bok
  jeśli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta i kąty zawarte między tymi bokami są równe

 

 

Twierdzenie

Niech $k$ to skala podobieństwa figur podobnych. Wtedy stosunek pól tych figur to $k^2$.

 

rys.18.9

 

Jeśli $F\sim F^{\prime }$ i skala podobieństwa figury $F$ do figury $F^{\prime }$ wynosi $k$, to stosunek pola figury $F$ do pola figury $F^{\prime }$ to $k^2$.

---

Zadanie 1. Trójkąty $ABC$ i $EFG$ przedstawione na poniższym rysunku są podobne.

 

 

rys.4.1

 

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Bok $AB$ trójkąta $ABC$ ma długość
A. $7\frac{9}{13}$                       B.  $13$                      C. $14\frac{1}{2}$                       D. $29\frac{1}{4}$

Rozwiązanie

$\left|\sphericalangle ACB\right|=180^{\circ }-32^{\circ }-50^{\circ }=98^{\circ }$ 

$\left|\sphericalangle EFG\right|=180^{\circ }-98^{\circ }-50^{\circ }=32^{\circ }$     rys.4.2

$\frac{\left|AB\right|}{\left|EF\right|}=\frac{\left|CA\right|}{\left|FG\right|}$

$\frac{x}{19,5}=\frac{10}{15}$

$15x=10\cdot 19,5$

$15x=195|:13$

$x=13$

---

Zadanie 2. Odcinki $AB$ i $CD$ przecinają się w punkcie $P$. Dodatkowo wiadomo, że $\left|AC\right|=9$, $\left|CP\right|=21$, $\left|PB\right|=28$, a kąty $PCA$ i $DBP$ są proste (zobacz rysunek).

 

 

rys.5.1

 

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość odcinka $DB$ wynosi
A. $6\frac{3}{4}$                       B.  $16$                      C. $12$                       D. $13\frac{1}{2}$

Rozwiązanie

$\frac{\left|AC\right|}{\left|DB\right|}=\frac{\left|PC\right|}{\left|PB\right|}$

$\frac{9}{\left|DB\right|}=\frac{21}{28}$

$\left|DB\right|\cdot 21=9\cdot 28$

$21\left|DB\right|=252|:21$

$\left|DB\right|=12$

---

Zadanie 3. Dany jest trójkąt o bokach długości: $2\sqrt{3}$, $4\sqrt{3}$, $5\sqrt{3}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt o bokach długości …

A. $6\frac{3}{4}$                       B.  $16$                      C. $12$                       D. $13\frac{1}{2}$

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe,
lub F, jeśli jest fałszywe.

Trójkątem przystającym do tego trójkąta jest trójkąt o bokach długości $\frac{6}{\sqrt{3}}$, $\frac{12}{\sqrt{3}}$ i $\frac{15}{\sqrt{3}}$.	P	F
Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt o bokach długości $12$, $24$ i $30$.	P	F

Rozwiązanie

Zdanie pierwsze

 $\frac{6}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$

$\frac{12}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$

$\frac{15}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{15\sqrt{3}}{3}=5\sqrt{3}$

Zdanie jest prawdziwe.

Zdanie drugie

 $\frac{12}{2\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{12\sqrt{3}}{6}=2\sqrt{3}$

$k=2\sqrt{3}$

Czyli

$2\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=12$

$4\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=8\cdot 3=24$

$5\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=10\cdot 3=30$

Zdanie jest prawdziwe.

---

Zadanie 4.

Na poniższym rysunku dany jest trapez $ABCD$, w którym $AB\parallel CD$. Przekątne $AC$ i $BD$tego trapezu przecinają się w punkcie $S$. Dodatkowo wiadomo, że jego wysokość jest równa $20$oraz obwód trójkąta $ABS$ wynosi $72$, a obwód trójkąta $CDS$ jest równy $18$.

rys.6.1, 6.2, 6.3

Uzupełnij poniższe zdania wpisując odpowiednie liczby rzeczywiste.

4.1. Wysokość trójkąta $CDS$ poprowadzona z punktu $S$ jest równa ................... .

4.2. Pole trójkąta $CDS$ jest .................... razy większe od pola trójkąta $ABS$.