a)

Pole powierzchni bocznej ostrosłupa musi być większe niż jego pole podstawy, a więc:

$k>1$  

 

Zauważmy, że gdyby te pola były równe, to wtedy ściany boczne (będące czterema przystającymi trójkątami równoramiennymi) można by "nałożyć" na podstawę, idealnie ją pokrywając - czyli wysokość ostrosłupa byłaby równa  $H=0$    

 

 

---

b)

 

 

 

$\frac{P_b}{P_p}=k$  

 

$\frac{4\cdot \frac{1}{2}ah}{a^2}=k$  

 

$\frac{2h}{a}=k\mid \cdot a$  

 

$2h=ak\mid :2$  

 

$h=\frac{ak}{2}$        

 

 

 

$h^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=x^2$  

 

${\left(\frac{ak}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=x^2$  

 

$\frac{a^2{k}^2}{4}+\frac{a^2}{4}=x^2$   

 

$\frac{a^2{k}^2+a^2}{4}=x^2$   

 

 

Skorzystajmy z twierdzenia cosinusów:

$a^2=x^2+x^2-2\cdot x\cdot x\cdot \cos \alpha$  

 

$a^2=2x^2-2\cdot x^2\cdot \cos \alpha$  

 

$a^2=2\cdot \frac{a^2{k}^2+a^2}{4}-2\cdot \frac{a^2{k}^2+a^2}{4}\cdot \cos \alpha \mid \cdot 2$   

 

$2a^2=a^2{k}^2+a^2-\left(a^2{k}^2+a^2\right)\cdot \cos \alpha \mid :a^2$   

 

$2=k^2+1-\left(k^2+1\right)\cdot \cos \alpha$   

 

$1-k^2=-\left(k^2+1\right)\cos \alpha \mid :\left(-k^2+1\right)$   

 

$\left(-1+{\mathbf{k}}^2\right)\left({\mathbf{k}}^2+1\right)=\cos \alpha$    

 

 

---

$k=\sqrt{3}$  

 

$\frac{P_b}{P_p}=k$  

 

$\frac{4\cdot \frac{1}{2}ah}{a^2}=\sqrt{3}$  

 

$\frac{2h}{a}=\sqrt{3}\mid \cdot a$  

 

$2h=a\sqrt{3}\mid :2$  

 

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$       

 

 

$h^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=x^2$  

 

${\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=x^2$  

 

$\frac{3a^2}{4}+\frac{a^2}{4}=x^2$  

 

$a^2=x^2$  

 

$a=x$  

 

Z tego wynika, że trójkąt BCS jest równoboczny - a więc miara szukanego kąta to:

$\alpha ={60}^{\circ }$        

 

 

---

c)

$x$  - długość krawędzi bocznej

$y$  - wysokość opuszczona na krawędź boczną

$h$   - wysokość opuszczona na krawędź podstawy

    

$x^2=h^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2$  

 

  $\frac{4\cdot \frac{1}{2}ah}{a^2}=k$  

$\frac{2h}{a}=k$  

$2h=ak$  

$h=\frac{ak}{2}$  

 

$x^2={\left(\frac{ak}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2$  

 

$x^2=\frac{a^2{k}^2}{4}+\frac{a^2}{4}=\frac{a^2}{4}\left(k^1+1\right)$          

 

Pole trójkąta BCS możemy zapisać na dwa sposoby:

$P=\frac{1}{2}ah$  

$P=\frac{1}{2}xy$  

 

Zapiszmy równanie:

$\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}xy$     

 

$ah=xy$  

 

$a\cdot \frac{ak}{2}=\frac{a}{2}\cdot \sqrt{k^1+1}\cdot y\mid \cdot \frac{2}{a}$   

 

$ak=\sqrt{k^1+1}\cdot y\mid :\sqrt{k^2+1}$  

 

$\frac{ak}{{\sqrt{k}}^2+1}=y$  

 

 

Skorzystajmy z twierdzenia cosinusów:

$\left|BD\right|=a\sqrt{2}$  

 

${\left(a\sqrt{2}\right)}^2=y^2+y^2-2\cdot y\cdot y\cdot \cos \alpha$       

 

$2a^2=2y^2-2\cdot y^2\cdot \cos \alpha \mid :2$  

 

$a^2=y^2-y^2\cdot \cos \alpha$  

 

$a^2={\left(\frac{ak}{\sqrt{k^2+1}}\right)}^2-{\left(\frac{ak}{\sqrt{k^2+1}}\right)}^2\cdot \cos \alpha$     

 

$a^2=\frac{a^2{k}^2}{k^2+1}-\frac{a^2{k}^2}{k^2+1}\cdot \cos \alpha \mid :a^2$  

 

$1=\frac{k^2}{k^2+1}-\frac{k^2}{k^2+1}\cdot \cos \alpha \mid \cdot \left(k^2+1\right)$  

 

$k^2+1=k^2-k^2\cdot \cos \alpha$  

 

$1=-k^2\cdot \cos \alpha \mid :\left(-k^2\right)$  

 

$-\frac{1}{k^2}=\cos \alpha$    

 

 

     

 

 

       

   

 

 

𝑎2−−√)2=𝑦2+𝑦2−2⋅𝑦⋅𝑦⋅cos𝛼