Wykonajmy rysunek pomocniczy i wprowadźmy oznaczenia:

$x,y$   - długości krawędzi podstawy

$a,b$   - długości przekątnych ścian bocznych

  

Skorzystajmy z twierdzenia cosinusów i obliczmy długość odcinka x (wiemy, że przekątne w prostokącie przecinają się w połowie:

$x^2={\left(\frac{5}{2}\right)}^2+{\left(\frac{5}{2}\right)}^2-2\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \cos \alpha$   

$x^2=\frac{25}{4}+\frac{25}{4}-\frac{\sout{25}{}^1}{2}\cdot \frac{7}{{\sout{25}}_1}$  

$x^2=\frac{25}{2}-\frac{7}{2}$  

$x^2=\frac{18}{2}$  

$x^2=9$  

$\underline{x=3}$       

 

Skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa i obliczmy długość drugiego boku:

$3^2+y^2=5^2$  

$9+y^2=25$  

$y^2=16$  

$\underline{y=4}$  

 

Obliczmy długość przekątnej b:

${\left(2\sqrt{3}\right)}^2+x^2=b^2$   

${\left(2\sqrt{3}\right)}^2+3^2=b^2$  

$12+9=b^2$  

$b^2=21$   

$b=\sqrt{21}$

 

Długość przekątnej  a:

${\left(2\sqrt{3}\right)}^2+y^2=a^2$           

${\left(2\sqrt{3}\right)}^2+4^2=a^2$  

$12+16=a^2$  

$28=a^2$  

$a=2\sqrt{7}$  

 

Skorzystajmy z twierdzenia cosinusów i obliczmy cosinus kąta zaznaczonego na czerwono:

$5^2=a^2+b^2-2ab\cos \beta$  

 

$5^2={\left(2\sqrt{7}\right)}^2+{\left(\sqrt{21}\right)}^2-2\cdot 2\sqrt{7}\cdot \sqrt{21}\cdot \cos \beta$  

 

$25=28+21-4\sqrt{7}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{7}\cdot \cos \beta$  

 

$25=49-28\sqrt{3}\cos \beta$  

 

$-24=-28\sqrt{3}\cos \beta \mid \cdot \sqrt{3}$  

 

$-24\sqrt{3}=-28\cdot 3\cos \beta \mid :\left(-28\cdot 3\right)$  

 

$\frac{24\sqrt{3}}{84}=\cos \beta$  

 

$\underline{\frac{2\sqrt{3}}{7}=\cos \beta }$