Wykonajmy rysunek pomocniczy i wprowadźmy oznaczenia"

Wyznaczmy wysokość ostrosłupa:

$\frac{H}{h}=\sin \alpha \mid \cdot h$  

 

$\underline{H=h\sin \alpha }$  

 

Skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa i obliczmy  $\frac{1}{3}x$   (czyli  $\frac{1}{3}$   długości podstawy):

${\left(\frac{1}{3}x\right)}^2+H^2=h^2$  

 

${\left(\frac{1}{3}x\right)}^2+{\left(h\sin \alpha \right)}^2=h^2$  

 

$\frac{1}{9}{x}^2+h^2{\sin }^2\alpha =h^2$  

 

$\frac{1}{9}{x}^2=h^2-h^2{\sin }^2\alpha \mid \cdot 9$  

 

$x^2=9\left(h^2-h^2{\sin }^2\alpha \right)$  

 

$x=3\sqrt{h^2-h^2{\sin }^2\alpha }$  

 

$x=3h\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }$  

 

$x=3h\sqrt{{\cos }^2\alpha }$  

 

$x=3h\cos \alpha$    (kąt  $\alpha$   ma miarę mniejszą niż 90^o, więc cosinus jest dodatni)   

 

Wyznaczmy długość krawędzi podstawy:

$x=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  

 

$3h\cos \alpha =\frac{a\sqrt{3}}{2}\mid \cdot 2$  

 

$6h\cos \alpha =a\sqrt{3}\mid \cdot \sqrt{3}$  

 

$6\sqrt{3}h\cos \alpha =3a\mid :3$  

 

$\underline{2\sqrt{3}h\cos \alpha =a}$   

 

Obliczmy pole podstawy:

$P_P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{{\left(2\sqrt{3}h\cos \alpha \right)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{12h^2{\cos }^2\alpha \cdot \sqrt{3}}{4}=3h^2{\cos }^2\alpha \cdot \sqrt{3}$  

 

Objętość:

$V=\frac{1}{3}\cdot P_P\cdot H=\frac{1}{\sout{3}{}_1}\cdot \sout{3}{}^1{h}^2{\cos }^2\alpha \cdot \sqrt{3}\cdot h\sin \alpha =\underline{h^3\sqrt{3}{\cos }^2\alpha \sin \alpha }$    

 

Pole ściany bocznej:

$P_b=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}h\cos \alpha \cdot h=\sqrt{3}{h}^2\cos \alpha$  

 

Obliczmy pole powierzchni całkowitej:

$P=P_P+3P_b=3h^2{\cos }^2\alpha \cdot \sqrt{3}+3\cdot \sqrt{3}{h}^2\cos \alpha =\underline{3\sqrt{3}{h}^2\cos \alpha \left(\cos \alpha +1\right)}$