W czworościanie wszystkie ściany są przystającymi trójkątami równobocznymi.

Kąt między sąsiednimi ścianami ostrosłupa to kąt między ich wysokościami.

 

Wysokości wszystkich ścian są sobie równe. Wysokość ostrosłupa dzieli wysokość podstawy w stosunku 2:1.

$\cos \alpha =\frac{\frac{1}{3}h}{h}=\frac{1}{3}$   

 

 

b)

Wykonajmy rysunek pomocniczy i wprowadźmy oznaczenia:

 

Obliczmy wysokość ściany bocznej opuszczoną na podstawę a:

${\left(2a\right)}^2=h_1^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2$  

 

$4a^2=h_1^2+\frac{a^2}{4}$    

 

$4a^2-\frac{a^2}{4}=h_1^2$  

 

$\frac{15}{4}{a}^2=h_1^2$  

 

$h_1=\frac{\sqrt{15}}{2}a$   

 

Pole ściany bocznej możemy zapisać na 2 sposoby:

$P=\frac{1}{2}a{h}_1$  

Lub:

$P=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot h_2$      

 

$\frac{1}{2}a{h}_1=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot h_2$  

 

$h_1=2\cdot h_2$  

 

$h_2=\frac{1}{2}{h}_1=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{15}}{2}a=\frac{\sqrt{15}}{4}a$    

 

 

Przekątna podstawy ma długość:

$d=a\sqrt{2}$  

 

Skorzystajmy z twierdzenia cosinusów i obliczmy cosinus kąta  $\alpha$  :

${\left(a\sqrt{2}\right)}^2={\left(\frac{\sqrt{15}}{4}a\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{15}}{4}a\right)}^2-2\cdot \frac{\sqrt{15}}{4}a\cdot \frac{\sqrt{15}}{4}a\cdot \cos \alpha$  

 

$2a^2=\frac{15}{16}{a}^2+\frac{15}{16}{a}^2-2\cdot \frac{15}{16}{a}^2\cdot \cos \alpha \mid :a^2$  

 

$2=\frac{15}{16}+\frac{15}{16}-2\cdot \frac{15}{16}\cdot \cos \alpha$  

 

$\frac{32}{16}=\frac{30}{16}-\frac{30}{16}\cdot \cos \alpha$  

 

$\frac{2}{16}=-\frac{30}{16}\cdot \cos \alpha \mid \cdot 16$  

 

$2=-30\cdot \cos \alpha \mid :\left(-30\right)$  

 

$\underline{\cos \alpha =-\frac{1}{15}}$