Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że trójkąt ASC jest trójkątem równoramiennym prostokątnym:

$\left|AS\right|=\left|CS\right|=a$  

$\left|AC\right|=a\sqrt{2}$  

 

Na tej podstawie możemy stwierdzić, że:

$\sphericalangle SCA={45}^{\circ }$  

 

Popatrzmy na trójkąt AKC i skorzystajmy z twierdzenia sinusów:

$\frac{\left|AC\right|}{\sin \left({180}^{\circ }-{30}^{\circ }-{45}^{\circ }\right)}=\frac{\left|AK\right|}{\sin {45}^{\circ }}$  

 

 

$\frac{\left|AC\right|}{\sin \left({105}^{\circ }\right)}=\frac{\left|AK\right|}{\sin {45}^{\circ }}$  

 

$\left|AK\right|=\frac{\left|AC\right|}{\sin \left({105}^{\circ }\right)}\cdot \sin {45}^{\circ }$  

 

$\left|AK\right|=\frac{a\sqrt{2}}{\sin \left({105}^{\circ }\right)}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$  

 

$\left|AK\right|=\frac{a}{\sin \left({105}^{\circ }\right)}$  

 

$\sin {105}^{\circ }=\sin \left({45}^{\circ }+{60}^{\circ }\right)=\sin {45}^{\circ }\cdot \cos {60}^{\circ }+\cos {45}^{\circ }\cdot \sin {60}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$  

 

$\left|AK\right|=\frac{a}{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}$   

 

 

Popatrzmy na trójkąt SOC - zauważmy, że jest to trójkąt prostokątny i równoramienny (kąt SOC jest prosty, a kąt SCO ma miarę 45^o)

Możemy więc zapisać:

$\left|OS\right|=\frac{a\sqrt{2}}{2}$  

 

 

Trójkąt AOP:

$\tan {30}^{\circ }=\frac{\left|PO\right|}{\left|AO\right|}$  

 

$\left|PO\right|=\tan {30}^{\circ }\cdot \left|AO\right|$  

 

$\left|PO\right|=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$   

  

 

$\left|PS\right|=\left|SO\right|-\left|PO\right|=\frac{a\sqrt{2}}{2}-\frac{a\sqrt{6}}{6}=\frac{3a\sqrt{2}}{6}-\frac{a\sqrt{6}}{6}=\frac{a\left(3\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)}{6}$  

 

$\left|PI\right|=\left|PS\right|$   (wiemy, że trójkąt SOB jest prostokątny i równoramienny - a więc trójkąt SPI również jest prostokątny i równoramienny)

 

 

Obliczmy pole otrzymanej figury:

$P=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \frac{a\left(3\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)}{6}\cdot \frac{a}{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}=$  

 

$=\frac{a\left(3\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)}{6}\cdot \frac{4a}{\sqrt{2}+\sqrt{6}}=$  

 

$=\frac{4a^2\left(3\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)}{6\cdot \left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)}=$  

 

$=\frac{2a^2\left(3\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)}{3\cdot \left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)}=$  

 

$=\frac{\frac{2}{3}{a}^2\left(3\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)}{\sqrt{2}+\sqrt{6}}\cdot \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{\sqrt{2}-\sqrt{6}}=$  

 

$=\frac{\frac{2}{3}{a}^2\left(3\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)\cdot \left(\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)}{2-6}=$  

 

$=\frac{\frac{2}{3}{a}^2\left(6-3\sqrt{12}-\sqrt{12}+6\right)}{-4}=$  

 

$=\frac{2a^2\left(12-4\sqrt{12}\right)}{-12}=$   

 

$=\frac{2a^2\left(12-8\sqrt{3}\right)}{-12}=$  

 

$=\frac{8a^2\left(3-2\sqrt{3}\right)}{-12}=$  

 

$=\underline{\frac{2{\mathbf{a}}^2\left(2\sqrt{3}-3\right)}{3}}$