a)
{x2+4x+y2−2y−20=0y=7x−10
Zastosujmy metodę podstawiania.
x2+4x+(7x−10)2−2(7x−10)−20=0
x2+4x+49x2−140x+100−14x+20−20=0
50x2−150x+100=0 ∣:50
x2−3x+2=0
Δ=(−3)2−4⋅1⋅2=9−8=1
x1=23+1=2
x2=23−1=1
y1=7x1−10=7⋅2−10=4
y2=7x1−10=7⋅1−10=−3
Czyli rozwiązaniem układu równań są pary liczb:
{x=2y=4
{x=1y=−3
Wyznaczyliśmy punkty wspólne prostej y=7x−10 oraz okręgu x2+4x+y2−2y−20=0
b)
{x2−6x+y2=0x2−y2=0
Dodajmy stronami oba równania:
x2−6x+y2+x2−y2=0+0
2x2−6x=0 ∣:2
x2−3x=0
x(x−3)=0
x=0 lub x=3
Podstawmy wyznaczoną wartość x do drugiego równania:
02−y2=0
−y2=0
y=0
32−y2=0
9=y2
y=3 lub y=−3
Czyli rozwiązaniem równania są pary liczb:
{x=0y=0
{x=3y=3
{x=3y=−3
Wyznaczyliśmy punkty przecięcia się okręgu opisanego równaniem x2−6x+y2=0 z prostymi x2−y2=0
(Zauważmy, że:
x2−y2=0
x2=y2
y=x lub y=−x )
c)
{x2+y2=10y=∣x−1∣−3
Popatrzmy na drugie równanie:
y=∣x−1∣−3
Mamy tutaj do czynienia z wartością bezwzględną. Ten podpunkt będziemy musieli więc rozbić na dwa przypadki: 1) x≥1 , oraz 2) x<0
1) x≥1
{x2+y2=10y=x−1−3
{x2+y2=10y=x−4
Zastosujmy metodę podstawiania:
x2+(x−4)2=10
x2+x2−8x+16=10
2x2−8x+6=10 ∣:2
x2−4x+3=0
Δ=(−4)2−4⋅1⋅2=16−12=4
x1=24+2=3
x2=24−2=1
Podstawmy x do jednego z równań i wyznaczmy y:
y=x−4
y1=3−4=−1
y2=1−4=−3
A więc dla tego przypadku rozwiązaniami są pary liczb:
{x=3y=−1
Oraz
{x=1y=−3
2)
x<1
{x2+y2=10y=−x+1−3
{x2+y2=10y=−x−2
Podstawmy y z drugiego równania do pierwszego równania:
x2+(−x−2)2=10
x2+x2+4x+4=10
2x2+4x−6=0 ∣:2
x2+2x−3=0
Δ=22−4⋅1⋅(−3)=4+12=16
x1=2−2−4=−3
x2=2−2+4=1 - to rozwiązanie odpada, ponieważ rozpatrujemy przedział x<1
y=−x−2
y1=−x1−2=−(−3) −2=3−2=1
A więc dla tego przypadku rozwiązaniem jest para liczb:
{x=−3y=1
Wyznaczyliśmy punkty wspólne okręgu o równaniu x2+y2=10 oraz łamanej opisanej równaniem y=∣x−1∣−3
d)
{x2+y2=5x2−12x+y2−6y+25=0
⎩⎨⎧x2+y2=5=5x2 +y2−12x−6y+25=0
{x2+y2=55−12x−6y+25=0
{x2+y2=5−12x +30=6y ∣:6
{x2+y2=5−2x +5=y
Podstawmy y z drugiego równania do pierwszego równania:
x2+(−2x +5)2=5
x2+4x2−20x+25=5
5x2−20x+20=0 ∣:5
x2−4x+4=0
(x−2)2=0
x−2=0
x=2
Wyznaczmy y:
y=−2x +5=−2⋅2+5=−4+5=1
A więc rozwiązaniem układu równań jest para liczb:
{x=2y =1
Wyznaczyliśmy punkt wspólny okręgu o równaniu x2+y2=5 oraz okręgu o równaniu x2−12x+y2−6y+25=0
e)
{x2−12x+y2−2y+17=0x2+y2−6y−11=0 ∣⋅(−1)
{x2−12x+y2−2y+17=0−x2−y2+6y+11=0
Dodajmy stronami oba równania:
x2−12x+y2−2y+17−x2−y2+6y+11=0+0
−12x +4y+28=0
4y=12x−28 ∣:4
y=3x−7
Podstawmy y do jednego z równań:
x2+y2−6y−11=0
x2+(3x−7)2−6(3x−7)−11=0
x2+9x2−42x+49−18x+42−11=0
10x2−60x+80=0 ∣:10
x2−6x+8=0
Δ=(−6)2−4⋅1⋅8=36−32=4
x1=26+2=4
x2=26−2=2
y1=3x1−7=3⋅4−7=12−7=5
y2=3x2−7=3⋅2−7=6−7=−1
A więc parami liczb spełniającymi ten układ równań są:
{x=4y=5
Oraz:
{x=2y=−1
f)
{x2−4x+y2−2y−8=0 ∣⋅(−1)x2−10x+y2−8y+40=0
{−x2+4x−y2+2y+8=0x2−10x+y2−8y+40=0
Dodajmy stronami oba równania:
−x2+4x−y2+2y+8 +x2−10x+y2−8y+40 =0+0
−6x −6y+48 =0
−6x +48 =6y ∣:6
−x+8 =y
Podstawmy zmienną y do jednego z równań:
x2−4x+y2−2y−8=0
x2−4x+(−x+8)2−2(−x+8)−8=0
x2−4x+x2−16x+64+2x−16−8=0
2x2−18x +40 =0 ∣:2
x2−9x+20=0
Δ=(−9)2−4⋅1⋅20=81−80=1
x1=29−1=4
x2=29+1=5
y1=−x1+8=−4+8=4
y2=−x2+8=−5+8=3
A więc rozwiązaniem układu równań są pary liczb:
{x=4y=4
Oraz:
{x=5y=3
Wyznaczyliśmy punkty wspólne okręgów o równaniach x2−4x+y2−2y−8=0 oraz x2−10x+y2−8y+40=0
