a)

$x^2+4x+y^2-6y+4=0$     - równanie okręgu

 

$x+y+a=0$   - równanie prostej

 

$y=-x-a$  

 

Podstawmy y wyznaczony z równania prostej do równania okręgu:  

$x^2+4x+{\left(-x-a\right)}^2-6\left(-x-a\right)+4=0$  

 

$x^2+4x+x^2+2ax+a^2+6x+6a+4=0$  

 

$2x^2+x\left(10+2a\right)+a^2+6a+4=0$   

 

Aby prosta była styczna do okręgu, musi mieć ona dokładnie jeden punkt wspólny z tym okręgiem - a zatem powyższe równanie musi mieć jedno rozwiązanie.

Równanie posiada jedno rozwiązanie, gdy jego wyróżnik jest równy 0.

 

$\Delta ={\left(10+2a\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(a^2+6a+4\right)=100+40a+4a^2-8a^2-48a-32=-4a^2-8a+68$   

 

Chcemy, aby wyróżnik równania był równy 0, a więc:

$-4a^2-8a+68=0\mid :4$  

 

$-a^2-2a+17=0$   

 

${\Delta }_a={\left(-2\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 17=4+68=72$   

 

$\sqrt{72}=6\sqrt{2}$  

 

$a_1=\frac{2+6\sqrt{2}}{2\cdot \left(-1\right)}=\underline{-1-3\sqrt{2}}$   

 

$a_2=\frac{2-6\sqrt{2}}{2\cdot \left(-1\right)}=\underline{-1+3\sqrt{2}}$