a)

$x^2+2x+y^2+16y+1=0$  

 

$\underset{={\left(x+1\right)}^2}{\underbrace{x^2+2x+1}}-1+\underset{={\left(y+8\right)}^2}{\underbrace{y^2+16y+64}}-64+1=0$  

 

${\left(x+1\right)}^2-1+{\left(x+8\right)}^2-64+1=0$  

 

${\left(x+1\right)}^2+{\left(x+8\right)}^2=64$  

 

$r=\sqrt{64}=8$   

 

Naszkicujmy ten okrąg w układzie współrzędnych, i zaznaczmy punkt S:

      

Zauważmy, że środki obu okręgów mają taką samą pierwszą współrzędną. 

 

Okrąg o środku w S może być styczny zewnętrznie lub wewnętrznie do narysowanego:

Okręgi są styczne zewnętrznie, kiedy odległość między ich środkami jest równa sumie długości ich promieni:

$\left|AO\right|=r_1+r_2$  

 

$\left|AO\right|=10$  

$r_1=8$  

 

$10=8+r_2$  

$r_2=2$  

 

A więc równanie okręgu zewnętrznie stycznego to:

${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=4$  

 

 

Okręgi są styczne wewnętrznie, gdy:

$\left|AO\right|=\left|r_1-r_2\right|$  

$10=\left|8-r_2\right|$  

$10=8-r_2\text{ lub }-10=8-r_2$  

$2=-r_2\to r_2=-2$   - to rozwiązanie odrzucamy, gdyż długość nie może być liczbą ujemną.

 

$-18=-r_2$  

$r_2=18$  

 

Równanie okręgu wewnętrznie stycznego:

${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2={18}^2$  

${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=324$   

 

 

 

 

---

b)

$x^2-6x+y^2+2y+9=0$  

 

$\underset{={\left(x-3\right)}^2}{\underbrace{x^2-6x+9}}-9+\underset{={\left(y+1\right)}^2}{\underbrace{y^2+2y+1}}-1+9=0$     

 

${\left(x-3\right)}^2-9+{\left(y+1\right)}^2-1+9=0$  

 

${\left(x-3\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=1$  

$r_1=1$   

 

 

$\left|SO\right|=\sqrt{{\left(3-\left(-1\right)\right)}^2+{\left(-1-2\right)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$  

 

Wyznaczmy promień okręgu stycznego zewnętrznie:

$\left|SO\right|=r_1+r_2$  

$5=1+r_2$  

$4=r_2$  

 

Równanie tego okręgu:

${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=4^2$  

${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=16$  

  

 

    

 

 

 

Wyznaczmy promień okręgu stycznego wewnętrznie:

$\left|SO\right|=\left|r_1-r_2\right|$  

$5=\left|1-r_2\right|$  

 

$5=1-r_2\text{ lub }-5=1-r_2$   

 

$4=-r_2$   - promień nie może być liczbą ujemną.    

 

$-5=1-r_2$  

$-6=-r^2$  

$r_2=6$     

 

Równanie tego okręgu to:

${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=6^2$  

${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=36$