$l:y=mx+n$  

$k:y=nx+m$  

 

Wiemy, że te proste są do siebie prostopadłe - zatem zachodzi równość:

$m=-\frac{1}{n}$  

 

$l:y=-\frac{1}{n}x+n$   

$k:y=nx-\frac{1}{n}$  

 

Wyznaczmy pierwszą współrzędną przecięcia się tych prostych:

$-\frac{1}{n}x+n=nx-\frac{1}{n}$  

 

$n+\frac{1}{n}=nx+\frac{1}{n}x$  

 

$n+\frac{1}{n}=x\left(n+\frac{1}{n}\right)$    

 

$1\cdot \left(n+\frac{1}{n}\right)-x\left(n+\frac{1}{n}\right)=0$  

 

$\left(1-x\right)\cdot \left(n+\frac{1}{n}\right)=0$    

 

$1-x=0$   

 

$x=1$  

 

Wiemy, że dane proste przecinają się w  $x=1$  . Wiemy również, że przez punkt przecięcia przechodzi również prosta o równaniu  $y=-2x$  

Wyznaczmy drugą współrzędną punktu przecięcia się wszystkich prostych:

$y=-2\cdot 1=-2$           

 

Czyli proste przecinają się w punkcie

$\left(1,-2\right)$    

 

Wyznaczmy n:

$y=nx-\frac{1}{n}$  

$-2=n\cdot 1-\frac{1}{n}$   

$0=n-\frac{1}{n}+2\mid \cdot n$    

$0=n^2+2n-1$    

 

$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot \left(-1\right)=4+4=8$   

$\sqrt{\Delta }=2\sqrt{2}$  

 

$n_1=\frac{-2+2\sqrt{2}}{2}=-1+\sqrt{2}$    

 

$n_2=\frac{-2-2\sqrt{2}}{2}=-1-\sqrt{2}$   

 

$m_1=\frac{-1}{n_1}=\frac{-1}{-1+\sqrt{2}}=\frac{-1}{-1+\sqrt{2}}\cdot \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=\frac{-1-\sqrt{2}}{2-1}=-1-\sqrt{2}$      

 

$m_2=\frac{-1}{n_2}=\frac{-1}{-1-\sqrt{2}}=\frac{1}{1+\sqrt{2}}\cdot \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}=\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}=\frac{1-\sqrt{2}}{-1}=\sqrt{2}-1$    

 

 

A więc wzory prostych to:

$l:y=\left(-1-\sqrt{2}\right)x-1+\sqrt{2}$   

$k:y=\left(-1+\sqrt{2}\right)x-1-\sqrt{2}$  

 

Lub:            

$l:y=\left(-1+\sqrt{2}\right)x-1-\sqrt{2}$  

$k:y=\left(-1-\sqrt{2}\right)x-1+\sqrt{2}$