Wykonajmy rysunek pomocniczy:

 

Skoro dłuższa podstawa jest średnicą okręgu, to kąty ACB oraz ADB są kątami prostymi (kąt wpisany oparty na średnicy okręgu jest kątem prostym):

 

 

Chcemy obliczyć pole koła wpisanego w trójkąt ABP:

 

Zapiszemy pole trójkąta ABP na 2 sposoby, po czym skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta opisanego na okręgu, aby wyznaczyć promień okręgu wpisanego w trójkąt:

$P=\frac{p}{2}\cdot r$  , gdzie p jest obwodem trójkąta. 

$P=\frac{1}{2}a\cdot h$   

 

Zauważmy, że skoro trójkąt ADB jest prostokątny, to:

$\sin \sphericalangle DBA=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$  

 

Z tego wynika, że:

$\sphericalangle DBA={30}^{\circ }$  

 

Oraz:

$\sphericalangle DAB={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-{30}^{\circ }={60}^{\circ }$  

 

 

 

Zauważmy, że trójką AED jest trójkątem prostokątnym, a jego dwa pozostałe kąty mają miary 30^o i 60^o - a więc odcinek AE jest połową odcinka AD:

$\left|AE\right|=6:2=3$  

Z tego wynika, że podstawa CD ma długość:

$\left|CD\right|=12-3-3=6$  

 

Odcinek DE ma długość:

$\left|DE\right|=3\sqrt{3}$    

 

 

 

Zauważmy, że trójkąty ABP oraz CDP są podobne - kąt APB tworzy z kątem CPD parę kątów wierzchołkowych (a więc mają one równe miary) 

Kąt ABD tworzy z kątem BDC parę kątów naprzemianległych, więc również mają równe miary:

 

Skala podobieństwa wynosi:

$k=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$  

 

 

Ponieważ skala podobieństwa wynosi  $\frac{1}{2}$  , w związku z tym długość odcinka PO stanowi  $\frac{2}{3}$   długości odcinka DE:

$h_{ABP}=\left|PO\right|=\frac{2}{3}\cdot 3\sqrt{3}=2\sqrt{3}$  

 

Obliczmy pole trójkąta ABP:

$P=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot 12=12\sqrt{3}$  

 

Aby obliczyć obwód trójkąta ABC, musimy obliczyć długość odcinka AP.

Długość odcinka AP stanowi  $\frac{2}{3}$   odcinka AC.

$\left|AC\right|=\sqrt{3}\left|BC\right|=6\sqrt{3}$   

 

$\left|AP\right|=\frac{2}{\sout{3}{}_1}\cdot \sout{6}{}^2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$  

 

Obliczmy obwód trójkąta ABP:

$p=12+4\sqrt{3}+4\sqrt{3}=12+8\sqrt{3}$  

 

Obliczmy pole trójkąta ABP drugim sposobem:

$P=\frac{p}{2}\cdot r=\frac{12+8\sqrt{3}}{2}\cdot 4=\left(6+4\sqrt{3}\right)r$  

 

$\left(6+4\sqrt{3}\right)r=12\sqrt{3}\mid :\left(6+4\sqrt{3}\right)$  

 

$r=\frac{12\sqrt{3}}{6+4\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{6+4\sqrt{3}}\cdot \frac{6-4\sqrt{3}}{6-4\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}\cdot \left(6-4\sqrt{3}\right)}{36-48}=\frac{72\sqrt{3}-144}{-12}=12-6\sqrt{3}$   

 

 

Obliczmy pole koła:

$P_k=\pi r^2=\pi \cdot {\left(12-6\sqrt{3}\right)}^2=\pi \cdot \left(144-144\sqrt{3}+108\right)=\underline{\pi \left(252-144\sqrt{3}\right)}$