a)

$a^2-b^2=36$  

 

$\left(a+b\right)\left(a-b\right)=36$  

 

Zastanówmy się, w jaki sposób możemy przedstawić liczbę 36 w postaci iloczynu dwóch liczb naturalnych

$36=1\cdot 36$  

$36=2\cdot 18$  

$36=3\cdot 12$  

$36=4\cdot 9$  

$36=6\cdot 6$  

 

(Uwaga - rozpatrujemy tylko liczby naturalne, więc pod a podkładamy większy z czynników - w przeciwnym razie wyrażenie (a-b) byłoby liczbą ujemną, czyli z góry taki przypadek odpada - dzięki temu możemy od razu odrzucić połowę przypadków)

 

Czyli mamy 5 możliwości

1^o

$\{\begin{array}{l}a+b=36\\ a-b=1\end{array}$   

 

$\{\begin{array}{l}a+b=36\\ a=1+b\end{array}$  

 

$\{\begin{array}{l}1+b+b=36\\ a=1+b\end{array}$    

 

$\{\begin{array}{l}2b=35\\ a=1+b\end{array}$     - b nie jest liczbą całkowitą, a zgodnie z założeniami obie liczby miały być liczbami naturalnymi, więc ten przypadek odpada

 

 

2^o

$\{\begin{array}{l}a+b=18\\ a-b=2\end{array}$   

 

$\{\begin{array}{l}a+b=18\\ a=2+b\end{array}$  

 

$\{\begin{array}{l}2+b+b=18\\ a-b=2\end{array}$  

 

$\{\begin{array}{l}2b=16\\ a-b=2\end{array}$  

 

$\{\begin{array}{l}b=8\\ a-8=2\end{array}$  

 

$\underline{\{\begin{array}{l}b=8\\ a=10\end{array}}$