Oblicz.- Zadanie 1: Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom rozszerzony

Rozwiązanie

$cos (π - α) = - cos α$

$((13 + 2)^{\frac{1}{2}} - (13 - 2)^{\frac{1}{2}})^{2} \cdot cos (\frac{2}{3} π) =$

$= (13 + 2 - 2 \cdot (13 + 2)^{\frac{1}{2}} \cdot (13 - 2)^{\frac{1}{2}} + 13 - 2) \cdot cos (π - \frac{1}{3} π) =$

$= (213 - 2 \cdot [(13 + 2) (13 - 2)]^{\frac{1}{2}}) \cdot (- cos (\frac{1}{3} π)) =$

$= (213 - 2 \cdot [13 - 4]^{\frac{1}{2}}) \cdot (- \frac{1}{2}) =$

$= (2 \cdot 13 - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) \cdot (- \frac{1}{2}) =$

$= (2 \cdot 13 - 2 \cdot 3) \cdot (- \frac{1}{2}) =$

$= (2 \cdot 13 - 6) \cdot (- \frac{1}{2}) =$

$= 3 - 13$

$sin (π + α) = - sin α$

$lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$

$\frac{64 ^{\frac{2}{3}} \cdot 8}{0 , 5 ^{- 4} \cdot 4 4} - lo g_{4}^{2} 32 - \frac{1}{2} \cdot \frac{sin ( 7 π )}{6} =$

$= \frac{( 2 ^{6} ) ^{\frac{2}{3}} \cdot 2 ^{3}}{( \frac{1}{2} ) ^{- 4} \cdot 4 2 ^{2}} - lo g_{4}^{2} 32 - \frac{1}{2} \cdot sin (π + \frac{π}{6}) =$

$= \frac{2 ^{6^{2} \cdot \frac{2}{3 _{1}}} \cdot 2 ^{\frac{3}{2}}}{2 ^{4} \cdot 2 ^{\frac{2}{4}}} - lo g_{4}^{2} 32 - \frac{1}{2} \cdot (- sin (\frac{π}{6})) =$

$= \frac{2 ^{4} \cdot 2 ^{\frac{3}{2}}}{2 ^{4} \cdot 2 ^{\frac{2}{4}}} - (lo g_{4} 32)^{2} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) =$

$= 2^{\frac{3}{2} - \frac{2}{4}} - (\frac{lo g _{2} 32}{lo g _{2} 4})^{2} + \frac{1}{4} =$

$= 2^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} - (\frac{5}{2})^{2} + \frac{1}{4} =$

$= 2^{1} - \frac{25}{4} + \frac{1}{4} =$

$= 2 \frac{1}{4} - 6 \frac{1}{4} =$

$= - 4$

W poniższym przykładzie skorzystamy z następującej własności logarytmy:

$a^{l o g_{a} b} = b$

$3^{l o g_{9} 27} + lo g_{\frac{1}{3}} 9 - 3^{l o g_{3} 16} =$

$= 3^{l o g_{9} 3^{3}} + (- 2) - (3^{\frac{1}{2}})^{(l o g_{3} 16)} =$

$= 3^{3 l o g_{9} 3} - 2 - (3^{\frac{1}{2} \cdot l o g_{3} 16}) =$

$= 3^{3 \cdot \frac{1}{2}} - 2 - 3^{l o g_{3} 16^{\frac{1}{2}}} =$

$= 3^{\frac{3}{2}} - 2 - 3^{l o g_{3} 4} =$

$= 33 - 2 - 4 =$

$= 33 - 6$

$\frac{( 6 ^{- 1} - 3 ^{- 4} ) : ( 0 , 5 ^{- 2} + 3 - 8 ^{- 1} )}{lo g _{8} 0 , 5 \cdot lo g _{32} 2 - 1 \frac{2}{3} : ( - 2 \frac{1}{2} )} =$

$= \frac{( \frac{1}{6} - ( 3 ^{\frac{1}{2}} ) ^{- 4} ) : ( ( \frac{1}{2} ) ^{- 2} + 3 ( ( - 2 ) ^{3} ) ^{- 1} )}{lo g _{8} ( \frac{1}{2} ) \cdot lo g _{32} 2 - 1 \frac{2}{3} : ( - 2 \frac{1}{2} )} =$

$= \frac{( \frac{1}{6} - 3 ^{- \frac{4}{2}} ) : ( 2 ^{2} + ( ( - 2 ) ^{- 3 \cdot \frac{1}{3}} ) )}{( - \frac{1}{3} ) \cdot \frac{1}{5} - \frac{5}{3} : ( - \frac{5}{2} )} =$