a)

$x>0$  

$y>0$  

 

$2xy\le x^2+y^2$  

$0\le x^2-2xy+y^2$  

$0\le {\left(x-y\right)}^2$  

 

Wiemy, że kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, a więc tę nierówność spełnia każda para liczb rzeczywistych.

 

Uwaga!

W tym rozumowaniu zaczęliśmy dowodzenie od tezy (czyli od tego, co chcieliśmy udowodnić).

Możemy jednak wykorzystać to rozumowanie, aby poprowadzić dowód "w drugą stronę".

 

Wiemy, że dla każdych liczb rzeczywistych zachodzi nierówność:

$0\le {\left(x-y\right)}^2$  

Możemy rozpisać prawą stronę stosując wzór skróconego mnożenia:

$0\le x^2-2xy+y^2$  

$2xy\le x^2+y^2$   - co należało pokazać.

 

 

b)

$x>0$  

$y>0$  

$\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}\mid \cdot 2$  

$x+y\ge 2\sqrt{xy}$  

$x-2\sqrt{xy}+y\ge 0$  

$x-2\cdot \sqrt{x}\cdot \sqrt{y}+y\ge 0$    

${\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}^2\ge 0$       

Różnica liczb w nawiasie jest pewną liczbą rzeczywistą, a kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze liczba nieujemną, czyli nierówność jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej.

 

Podobnie jak w poprzednim przykładzie - możemy poprowadzić rozumowanie w drugą strone:

Wiemy, że dla każdego x>0 oraz y>0 zachodzi nierówność:

${\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}^2\ge 0$  

Możemy ją przekształcić, stosując wzór skróconego mnożenia do lewej strony nierówności:

$x-2\cdot \sqrt{x}\cdot \sqrt{y}+y\ge 0$  

$x+y\ge 2\sqrt{xy}\mid :2$  

$\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}$  

Co należało pokazać.

 

 

c)

$x>0$  

$y>0$  

 

$\frac{2x}{y}+\frac{y}{2x}\ge 2$                

x i y są liczbami dodatnimi, więc nie musimy wyznaczać dziedziny.

 

Pomnóżmy obie strony równania przez xy (obie liczby są dodatnie, więc nie zmieni nam to zwrotu nierówności)

$\frac{2x}{\sout{y}{}_1}\cdot x\sout{y}{}^1+\frac{y}{2\sout{x}{}_1}\cdot \sout{x}{}^{1}y\ge 2xy$  

 

$2x^2+\frac{y^2}{2}\ge 2xy\mid \cdot 2$   

 

$4x^2+y^2\ge 4xy$  

 

$4x^2-4xy+y^2\ge 0$   

 

${\left(2x-y\right)}^2\ge 0$                 

Różnica liczb w nawiasie jest pewną liczbą rzeczywistą, a kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze liczba nieujemną, czyli nierówność jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej. 

 

Poprowadźmy rozumowanie w drugą stronę.

Wiemy, że dla każdej liczby x oraz y zachodzi nierówność:

${\left(2x-y\right)}^2\ge 0$  

Możemy ją przekształcić jak poniżej:

$4x^2-4xy+y^2\ge 0$  

 

$4x^2+y^2\ge 4xy:2$   

 

$2x^2+\frac{y^2}{2}\ge 2xy\mid :xy$  

 

$\frac{2x}{y}+\frac{y}{2x}\ge 2$  

Wychodząc od nierówności spełnionej przez każdą parę liczb całkowitych przekształciliśmy ją w taki sposób, aby otrzymać nierówność, jaką chcieliśmy udowodnić.