a)

$\frac{6}{3-2\sqrt{3}}=$  

$=\frac{6}{3-2\sqrt{3}}\cdot \frac{3+2\sqrt{3}}{3+2\sqrt{3}}=$  

$=\frac{6\cdot \left(3+2\sqrt{3}\right)}{\left(3-2\sqrt{3}\right)\cdot \left(3+2\sqrt{3}\right)}=$  

$=\frac{6\cdot \left(3+2\sqrt{3}\right)}{9-12}=$  

$=\frac{\sout{6}{}^2\cdot \left(3+2\sqrt{3}\right)}{-\sout{3}{}_1}$  

$=-6-4\sqrt{3}$  

 

 

b)

$\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}=$  

 

$=\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}\cdot \frac{2\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2\sqrt{3}-\sqrt{2}}=$  

 

$=\frac{\sqrt{6}\cdot \left(2\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}{\left(2\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\cdot \left(2\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}=$

 

$=\frac{2\sqrt{18}-\sqrt{12}}{12-2}=$   

 

$=\frac{2\sqrt{2\cdot 9}-\sqrt{3\cdot 4}}{10}=$     

 

$=\frac{2\cdot 3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{10}=$   

 

$=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{5}$  

 

 

c)

$\frac{3}{1+\sqrt[3]{2}}$   

 

Wykorzystamy wzór skróconego mnożenia dla trzeciej potęgi:

$a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)$   

 

W naszym przypadku mamy:

$a=1$  

$b=\sqrt[3]{2}$  

$a^2-ab+b^2=1-\sqrt[3]{2}+{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^2$       

 

 

$\frac{3}{1+\sqrt[3]{2}}\cdot \frac{1-\sqrt[3]{2}+{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^2}{1-\sqrt[3]{2}+{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^2}=$  

 

$=\frac{3\left(1-\sqrt[3]{2}+{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^2\right)}{1^3+{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^3}=$    

 

$=\frac{3\left(1-\sqrt[3]{2}+{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^2\right)}{1+2}=$   

 

$=\frac{\sout{3}{}^1\left(1-\sqrt[3]{2}+{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^2\right)}{\sout{3}{}_1}=$       

 

$=1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$  

 

 

 

d)

$\frac{1}{\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}}$    

 

$a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)$  

 

$a=\sqrt[3]{3}$  

$b=\sqrt[3]{2}$  

$a^2+ab+b^2={\left(\sqrt[3]{3}\right)}^2+\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{2}+{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^2$    

 

$\frac{1}{\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}}\cdot \frac{{\left(\sqrt[3]{3}\right)}^2+\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{2}+{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^2}{{\left(\sqrt[3]{3}\right)}^2+\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{2}+{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^2}=$  

 

$=\frac{{\left(\sqrt[3]{3}\right)}^2+\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{2}+{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^2}{{\left(\sqrt[3]{3}\right)}^3-{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^3}=$      

 

$=\frac{{\left(\sqrt[3]{3}\right)}^2+\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{2}+{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^2}{3-2}=$    

 

$=\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}$  

 

 

 e)

$\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-1}=$  

 

$=\frac{2}{\sqrt{2}+\left(\sqrt{3}-1\right)}\cdot \frac{\sqrt{2}-\left(\sqrt{3}-1\right)}{\sqrt{2}-\left(\sqrt{3}-1\right)}=$  

 

$=\frac{2\left(\sqrt{2}-\left(\sqrt{3}-1\right)\right)}{{\left(\sqrt{2}\right)}^2-{\left(\sqrt{3}-1\right)}^2}=$  

 

$=\frac{2\left(\sqrt{2}-\left(\sqrt{3}-1\right)\right)}{2-3+2\sqrt{3}-1}=$  

 

$=\frac{\sout{2}{}^1\left(\sqrt{2}-\left(\sqrt{3}-1\right)\right)}{-\sout{2}{}_1+\sout{2}{}_1\sqrt{3}}=$   

 

$=\frac{\sqrt{2}-\left(\sqrt{3}-1\right)}{\sqrt{3}-1}\cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}=$  

 

$=\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\cdot \left(\sqrt{2}-\left(\sqrt{3}-1\right)\right)}{3-1}=$  

 

$=\frac{\left(\left(\sqrt{3}+1\right)\cdot \sqrt{2}-\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)\right)}{2}=$  

 

$=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}-3+1}{2}=$  

 

$=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}-2}{2}$