Uprość wyrażenie.- Zadanie 5: Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom rozszerzony

Rozwiązanie

$x, y > 0$ - a więc nie musimy sprawdzać dziedziny, ponieważ wyrażenie pod pierwiastkiem jest zawsze dodatnie

$\frac{x + y}{x ^{4} + 2 x ^{3} y + x ^{2} y ^{2}} =$

$= \frac{x + y}{x ^{2} ( x ^{2} + 2 x y + y ^{2} ) =}$

$= \frac{x + y}{x ^{2} ( x + y ) ^{2}} =$

$= \frac{x + y ^{1}}{x \cdot ( x + y ) _{1}} =$

$= \frac{1}{x}$

$x, y > 0$ - czyli nie musimy sprawdzać dziedziny, ponieważ mianownik zawsze będzie liczbą dodatnią (czyli nieujemną), a wyrażenia pod pierwiastkami są liczbami dodatnimi

$\frac{x - y}{x + y} =$

$= \frac{x - y}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y} =$

$= \frac{x - y ( x - y )}{x - y _{1}} =$

$= x - y$

$x \neq = y$ - czyli mianownik nie będzie równy 0

$\frac{x - y}{3 x - 3 y}$

Do uproszczenia tego wyrażenia wykorzystamy wzór skróconego mnożenia:

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$

Popatrzmy na wyrażenie w mianowniku:

$M = 3 x - 3 y$

Naszym a jest tutaj $3 x$ , natomiast b jest równe $3 y$

Aby pozbyć się pierwiastka trzeciego stopnia z mianownika, musimy go pomnożyć przez:

$a^{2} + a b + b^{2} = (3 x)^{2} + 3 x \cdot 3 y + (3 y)^{2}$

Przekształćmy więc dane wyrażenie:

$\frac{x - y}{3 x - 3 y} =$

$= \frac{x - y}{3 x - 3 y} \cdot \frac{( 3 x ) ^{2} + 3 x \cdot 3 y + ( 3 y ) ^{2}}{( 3 x ) ^{2} + 3 x \cdot 3 y + ( 3 y ) ^{2}} =$

$= \frac{( x - y ) ( ( 3 x ) ^{2} + 3 x \cdot 3 y + ( 3 y ) ^{2} )}{( 3 x ) ^{3} - ( 3 y ) ^{3}} =$

$= \frac{( x - y ) ( ( 3 x ) ^{2} + 3 x \cdot 3 y + ( 3 y ) ^{2} )}{x - y _{1}} =$

$= (3 x)^{2} + 3 x y + (3 y)^{2}$

$x > 1$

Wyznaczmy dziedzinę.

Wyrażenie pod pierwiastkiem po lewej ma zawsze wartość dodatnią ( $2 x$ jest liczbą dodatnią, $2 x - 1$ również jest liczbą dodatnią, pierwiastek z liczby dodatniej jest liczbą dodatnią; suma liczby dodatniej i liczby dodatniej jest liczbą dodatnią)

Popatrzmy na pierwiastek po prawej stronie:

$2 x - 2 2 x - 1$

Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być liczbą nieujemną, a więc możemy zapisać:

$2 x - 2 2 x - 1 \geq 0 ∣ : 2$

$x - 2 x - 1 \geq 0$

$x \geq 2 x - 1 ∣ ()^{2}$

$x^{2} \geq 2 x - 1$

$x^{2} - 2 x + 1 \geq 0$

$(x - 1)^{2} \geq 0$

Tę nierówność spełnia każda liczba rzeczywista x, więc założenie, że $x > 1$ jest wystarczające.

Zapiszmy, że ta suma równa się pewnej liczbie a:

$2 x + 2 2 x - 1 - 2 x - 2 2 x - 1 = a$ - możemy od razu zauważyć, że liczba a jest liczbą nieujemną, ponieważ wartość pierwiastka w odjemniku jest mniejsza niż wartość pierwiastka w odjemnej (pierwiastek z liczby większej jest większy niż pierwiastek z liczby mniejszej). Podnieśmy obie strony do kwadratu.