a)

Każdą liczbę nieparzystą można zapisać jako sumę pewnej liczby parzystej oraz nieparzystej, np.

$2n+1$  

Gdzie n jest pewną liczbą całkowitą.

Wtedy dwie kolejne liczby nieparzyste to:

$2n+3$  

Oraz

$2n+5$  

 

Zapiszmy sumę tych trzech liczb:

$2n+1+2n+3+2n+5=6n+9=3\cdot \left(2n+3\right)$  

Wyrażenie w nawiasie jest liczbą całkowitą.

Zapisaliśmy sumę trzech kolejnych liczb nieparzystych jako iloczyn pewnej liczby całkowitej oraz liczby 3, a więc cała liczba również jest podzielna przez 3.     

 

b)

$n$   - dowolna liczba całkowita

Aby mieć pewność, że liczba jest podzielna przez 4, możemy ją pomnożyć przez 4:

$4n$   - pewna liczba podzielna przez 4

Kolejne liczby podzielne przez 4 są liczbami o 4 większymi od swoich poprzedników:

$4n+4$     

$4n+8$  

$4n+12$  

 

Zapiszmy sumę czterech kolejnych liczb całkowitych podzielnych przez 4:

$4n+4n+4+4n+8+4n+12=16n+24=8\cdot \left(2n+3\right)$    

Liczba 2n + 3 jest liczbą całkowitą.

Sumę czterech kolejnych liczb podzielnych przez 4 przedstawiliśmy jako iloczyn pewnej liczby całkowitej oraz liczby 8, a więc cała liczba jest podzielna przez 8.

 

c)

$n$   - pewna liczba całkowita

$3n$   - liczba podzielna przez 3

Wypiszmy 5 kolejnych liczb podzielnych przez 3 (w treści zadania nie mamy podane, czy rozpatrujemy tylko liczby naturalne, więc możemy przyjąć, że rozpatrujemy również liczby całkowite - w związku z tym wypisywanie liczb podzielnych przez 3 nie musimy zaczynać od 3n, ale możemy wziąć liczby podzielne przez 3 stojące przed 3n, jak poniżej):

$3n-6$  

$3n-3$  

$3n$  

$3n+3$  

$3n+6$          

 

Dodajmy te liczby do siebie:

$3n-6+3n-3+3n+3n+3+3n+6=15n$  

Liczba n była pewną liczbą całkowitą.

Sumę pięciu kolejnych liczb podzielnych przez 3 przedstawiliśmy jako iloczyn liczby 15 oraz pewnej liczby całkowitej, a więc jest ona liczba podzielną przez 15.