$\frac{2x}{3x-1}+\frac{6x}{3x-1}+\dots +\frac{98x}{3x-1}\ge 625$  

Wyznaczmy dziedzinę:

$3x-1\ne 0$  

$3x\ne 1$   

$x\ne \frac{1}{3}$     

 

 

Zauważmy, że liczniki składników po lewej to 2x, 6x, 10x, ..., 98x - czyli liczba x za każdym razem jest mnożona przez liczbę  $4n-2,n\in \mathbb{N}$   

Obliczmy, ile składników mamy po lewej stronie:

$98=4n-2$   

$100=4n\mid :4$  

$n=25$

 

 

Obliczmy sumę ciągu arytmetycznego o n-tym wyrazie równym:

$a_n=4n-2$  

 

$S=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{2+98}{2}\cdot 25=\frac{100}{2}\cdot 25=50\cdot 25=1250$     

 

$\frac{1250x}{3x-1}\ge 625$     (Uwaga! W odpowiedziach z tyłu książki jest błąd - w liczniku mamy 1250x, a nie 1250!)

 

$\frac{1250x}{3x-1}-625\ge 0$  

 

$\frac{1250x}{3x-1}-625\cdot \frac{3x-1}{3x-1}\ge 0$      

 

$\frac{1250x}{3x-1}-\frac{1875x-625}{3x-1}\ge 0$       

 

$\frac{1250x-1875x+625}{3x-1}\ge 0$        

 

$\frac{-625x+625}{3x-1}\ge 0\mid :625$          

 

$\frac{-x+1}{3x-1}\ge 0$  

 

$\left(-x+1\right)\left(3x-1\right)\ge 0$  

 

$\left(x-1\right)\left(3x-1\right)\le 0$  

 

$\left(x-1\right)\cdot 3\cdot \left(x-\frac{1}{3}\right)\le 0$  

 

$\left(x-1\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)\le 0$  

 

Nierówność jest spełniona dla  $x\in ⟨\frac{1}{3};1⟩$  

Pamiętamy jednak, że  $\frac{1}{3}$   nie należy do dziedziny, a więc rozwiązaniem zadania jest zbiór:

 

$x\in (\frac{1}{3};1⟩$