Dany jest ciąg...- Zadanie 1: Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom rozszerzony

Rozwiązanie

$a_{n} = (- 1)^{n + 1} \cdot (2 n - 1)$

$a_{1} = (- 1)^{1 + 1} \cdot (2 \cdot 1 - 1) = (- 1)^{2} \cdot (2 - 1) = 1 \cdot 1 = 1$

$a_{2} = (- 1)^{2 + 1} \cdot (2 \cdot 2 - 1) = (- 1)^{3} \cdot (4 - 1) = - 1 \cdot 3 = - 3$

$a_{3} = (- 1)^{3 + 1} \cdot (2 \cdot 3 - 1) = (- 1)^{4} \cdot (6 - 1) = 1 \cdot 5 = 5$

$a_{2} - a_{1} = - 3 - 1 = - 4$

$a_{3} - a_{2} = 5 - (- 3) = 5 + 3 = 8$

$- 4 \neq = 8$

W ciągu arytmetycznym każde dwa kolejne wyrazy różnią się o tyle samo - w naszym ciągu różnica między wyrazem drugim i pierwszym jest inna niż różnica między wyrazem trzecim a drugim - a więc podany ciąg nie jest arytmetyczny.

Możemy podzielić ten ciąg na dwa podciągi: jeden o wyrazach parzystych, a drugi o wyrazach nieparzystych.

Wyznaczmy podciąg o wyrazach nieparzystych:

$a_{1} = b_{1} = 1$

$a_{3} = b_{2} = 5$

$r_{b} = 5 - 1 = 4$

$b_{n} = 1 + 4 (n - 1) = 1 + 4 n - 4 = 4 n - 3$

Skoro łącznie chcemy obliczyć sumę 101 wyrazów, to wśród nich jest 51 wyrazów o numerach nieparzystych.

$S_{n p} = \frac{2 \cdot b _{1} + ( n - 1 ) \cdot r}{2} \cdot n = \frac{2 \cdot 1 + ( 51 - 1 ) \cdot 4}{2} \cdot 51 = \frac{2 + 50 \cdot 4}{2} \cdot 51 = \frac{2 + 200}{2} \cdot 51 = \frac{202}{2} \cdot 51 = 101 \cdot 51 = 5151$

Podciąg o wyrazach parzystych:

$a_{2} = c_{1} = - 3$

$a_{4} = c_{2} = (- 1)^{4 + 1} \cdot (2 \cdot 4 - 1) = - (8 - 1) = - 7$

$r_{c} = - 7 - (- 3) = - 4$

$c_{n} = - 3 + (n - 1) \cdot (- 4) = - 3 - 4 n + 4 = - 4 n + 1$

Mamy 50 wyrazów o numerach parzystych.

$S_{p} = \frac{2 \cdot ( - 3 ) + ( 50 - 1 ) \cdot ( - 4 )}{2} \cdot 50 = (- 6 + 49 \cdot (- 4)) \cdot 25 = (- 6 - 196) \cdot 25 = - 202 \cdot 25 = - 5050$