a)

$\left(a_n\right)$   - rosnący ciąg geometryczny.

 

$a_{n+1}=a_n\cdot q$  

Liczba  $q$   jest pewną stałą liczbą.  

 

$b_n=\frac{1}{a_n}$  

 

$b_{n+1}=\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_n\cdot q}$  

 

$\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{\frac{1}{a_n\cdot q}}{\frac{1}{a_n}}=\frac{1}{a_n\cdot q}\cdot a_n=\frac{1}{q}$   - a więc każde dwa kolejne wyrazy ciągu  $b_n$    różnią się między sobą   $\frac{1}{q}$   razy, a więc ciąg  $b_n$   jest geometryczny.

(Skoro liczba  $q$   jest pewną stałą liczbą, to również liczba  $\frac{1}{q}$   jest pewną stałą liczbą, a zatem ciąg  $\left(b_n\right)$    jest geometryczny)  

 

 

---

b)

$S_n=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}$   - suma n-pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego

 

Zapiszmy wyrażenie opisujące sumę dwudziestu pierwszych wyrazów ciągu   $b_n$  :

$S{{}^{\prime }}_{20}=b_1\cdot \frac{1-q^{20}}{1-q}=\frac{1}{a_1}\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{q}\right)}^{20}}{1-\frac{1}{q}}$