Rozwiąż nierówność.- Zadanie 20: Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom rozszerzony

Rozwiązanie

$\frac{x ^{2} - 2 x - 3}{x ^{2} + x - 12} \leq 0$

Wyznaczmy dziedzinę:

$x^{2} + x - 12 = 0$

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12) = 1 + 48 = 49$

$Δ = 7$

$x_{1} = \frac{- 1 - 7}{2} = - \frac{8}{2} = - 4$

$x_{2} = \frac{- 1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$D = R \ {- 4; 3}$

Jeżeli iloraz dwóch liczb jest nieujemny, to również ich iloczyn jest nieujemny:

$(x^{2} - 2 x - 3) \cdot (x^{2} + x - 12) \leq 0$

$(x^{2} - 2 x - 3) \cdot (x + 4) (x - 3) \leq 0$

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

$Δ_{I I} = (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 4 + 12 = 16$

$x_{1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1$

$x_{2} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$(x + 1) (x - 3) \cdot (x - 3) (x + 4) \leq 0$

$(x + 1) (x - 3)^{2} (x + 4) \leq 0 ∣ : (x - 3)^{2}$ - liczba $(x - 3)^{2}$ jest dodatnia (jest to kwadrat liczby różnej od zera), zatem nierówność nie zmieni zwrotu

$(x + 1) (x + 4) \leq 0$

Naszkicujmy parabolę opisaną równaniem $y = (x + 1) (x + 4)$

$x \in ⟨ - 4; - 1 ⟩$

Wiemy jednak, że $x = - 4$ nie należy do dziedziny, a więc:

$\underline{x \in (- 4; - 1 ⟩}$

$\frac{x ^{2} + 6 x + 8}{x ^{3} - 4 x} \geq 0$

Wyznaczmy dziedzinę:

$x^{3} - 4 x = 0$

$x (x^{2} - 4) = 0$

$x = 0 \lor x^{2} - 4 = 0$

$x^{2} - 4 = 0$

$x^{2} = 4$

$x = 2 \lor x = - 2$

$D = R \ {- 2; 0; 2}$

$x^{2} + 6 x + 8 = 0$

$Δ = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$

$Δ = 2$

$x_{1} = \frac{- 6 + 2}{2 \cdot 1} = - \frac{4}{2} = - 2$

$x_{2} = \frac{- 6 - 2}{2 \cdot 1} = - \frac{8}{2} = - 4$

$\frac{x ^{2} + 6 x + 8}{x ^{3} - 4 x} \geq 0$

$\frac{( x + 2 ) ( x + 4 )}{x ( x + 2 ) ( x - 2 )} \geq 0$

$\frac{x + 4}{x ( x - 2 )} \geq 0$

$(x + 4) \cdot x (x - 2) \geq 0$

Naszkicujmy wykres wielomianu opisanego równaniem $y = x (x + 4) (x - 2)$

$x \in ⟨ - 4; 0 ⟩ \cup ⟨ 2; \infty)$

$x = 2, x = - 2$ nie należą do dziedziny, a więc musimy je wyrzucić z rozwiązania:

$\underline{x \in ⟨ - 4; - 2) \cup (- 2; 0) \cup (2; \infty)}$

$\frac{x}{2 x - 1} - \frac{3 - 2 x}{x} < - 1$

$\frac{x}{2 x - 1} - \frac{3 - 2 x}{x} + 1 < 0$

$\frac{x \cdot x}{x \cdot ( 2 x - 1 )} - \frac{( 3 - 2 x ) ( 2 \cdot x - 1 )}{x \cdot ( 2 x - 1 )} + \frac{x \cdot ( 2 x - 1 )}{x \cdot ( 2 x - 1 )} < 0$

$\frac{x \cdot x - ( 3 - 2 x ) ( 2 \cdot x - 1 ) + x \cdot ( 2 x - 1 )}{x \cdot ( 2 x - 1 )} < 0$

$\frac{x ^{2} - ( 6 x - 3 - 4 x ^{2} + 2 x ) + 2 x ^{2} - x}{x \cdot ( 2 x - 1 )} < 0$

$\frac{x ^{2} - 6 x + 3 + 4 x ^{2} - 2 x + 2 x ^{2} - x}{x \cdot ( 2 x - 1 )} < 0$

$\frac{7 x ^{2} - 9 x + 3}{x \cdot ( 2 x - 1 )} < 0$

$(7 x^{2} - 9 x + 3) \cdot x \cdot (2 x - 1) < 0$

$7 x^{2} - 9 x + 3 = 0$

$Δ = (- 9)^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 3 = 81 - 84 = - 3$

Zauważmy, że parabola opisana równaniem $y = 7 x^{2} - 9 x + 3$ nie ma miejsc zerowych, oraz jej ramiona są skierowane w górę - zatem w całości znajduje się ponad osią OX - czyli przyjmuje tylko wartości dodatnie. Możemy więc podzielić obie strony nierówności przez $7 x^{2} - 9 x + 3$ , dostaniemy wtedy:

$x \cdot (2 x - 1) < 0$

Naszkicujmy parabolę opisaną równaniem $y_{I I} = x (2 x - 1)$ :

$\underline{x \in (0; \frac{1}{2})}$

$\frac{3}{2 x - 1} - 1 > \frac{1}{x - 2}$

$\frac{3}{2 x - 1} - 1 - \frac{1}{x - 2} > 0$

$\frac{3 ( x - 2 )}{( 2 x - 1 ) ( x - 2 )} - \frac{( 2 x - 1 ) ( x - 2 )}{( 2 x - 1 ) ( x - 2 )} - \frac{2 x - 1}{( 2 x - 1 ) ( x - 2 )} > 0$

$\frac{3 ( x - 2 ) - ( 2 x - 1 ) ( x - 2 ) - ( 2 x - 1 )}{( 2 x - 1 ) ( x - 2 )} > 0$

$\frac{3 x - 6 - ( 2 x ^{2} - 4 x - x + 2 ) - 2 x + 1}{( 2 x - 1 ) ( x - 2 )} > 0$

$\frac{x - 5 - ( 2 x ^{2} - 5 x + 2 )}{( 2 x - 1 ) ( x - 2 )} > 0$

$\frac{x - 5 - 2 x ^{2} + 5 x - 2}{( 2 x - 1 ) ( x - 2 )} > 0$

$\frac{- 2 x ^{2} + 6 x - 7}{( 2 x - 1 ) ( x - 2 )} > 0$

$(- 2 x^{2} + 6 x - 7) \cdot (2 x - 1) (x - 2) > 0$

$- 2 x^{2} + 6 x - 7 = 0$

$Δ = 6^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 7) = 36 - 56 = - 20 < 0$

Zauważmy, że parabola opisana równaniem $y = - 2 x^{2} + 6 x - 7$ ma ramiona skierowane w dół, oraz nie posiada miejsc zerowych - czyli funkcja opisana tym równaniem przyjmuje tylko wartości ujemne w całej swojej dziedzinie - możemy więc podzielić obie strony nierówności przez $- 2 x^{2} + 6 x - 7$ , pamiętając o zmianie kierunku nierówności: