Jeżeli dwie hiperbole mają ten sam środek symetrii, to muszą mieć one te same asymptoty.

 

a)

$y=\frac{2x+3}{x-1}=\frac{2x-2+5}{x-1}=\frac{2x-2}{x-1}+\frac{5}{x-1}=\frac{2\left(x-1\right)}{x-1}+\frac{5}{x-1}=2+\frac{5}{x-1}$   

 

Asymptotą pionową tej paraboli jest prosta opisana równaniem  $x=1$  

Asymptotą poziomą jest prosta  $y=2$  

   

Czyli szukamy funkcji homograficznej opisanej równaniem:

$f\left(x\right)=2+\frac{a}{x-1}$  

 

Aby wykres tej funkcji nie miał z daną parabolą żadnych punktów wspólnych wystarczy, że  $a\ne 5$  

 

Przykład takiej funkcji:

$f\left(x\right)=2+\frac{4}{x-1}$  

 

b)

$y=\frac{8-2x}{x+3}=-\frac{2x-8}{x+3}=-\frac{2x+6-6-8}{x+3}=-\frac{2x+6-14}{x+3}=-\left(\frac{2x+6}{x+3}-\frac{14}{x+3}\right)=-\frac{2x+6}{x+3}+\frac{14}{x+3}=-(2\frac{x+3}{x+3}+\frac{14}{x+3}=-2+\frac{14}{x+3}$  

 

Asymptotą pionową tej paraboli jest prosta opisana równaniem  $x=-3$   

Asymptotą poziomą jest prosta  $y=-2$   

   

Czyli szukamy funkcji homograficznej opisanej równaniem:

$f\left(x\right)=\frac{a}{x+3}-2$  

 

Wystarczy, że będzie spełniony warunek  $a\ne 14$  

 

Przykład funkcji spełniającej to równanie:

$f\left(x\right)=\frac{13}{x+3}-2$  

 

c)

$y=\frac{x+4}{2x+1}=\frac{1}{2}\cdot \frac{x+4}{x+\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{x+\frac{1}{2}+\frac{7}{2}}{x+\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{x+\frac{1}{2}}{x+\frac{1}{2}}+\frac{\frac{7}{2}}{x+\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\cdot \left(1+\frac{\frac{7}{2}}{x+\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}+\frac{\frac{7}{4}}{x+\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{\frac{7}{2}}{2x+1}$    

 

Asymptotą pionową tej paraboli jest prosta opisana równaniem  $x=-\frac{1}{2}$    

Asymptotą poziomą jest prosta  $y=\frac{1}{2}$    

   

Czyli szukamy funkcji homograficznej opisanej równaniem:

$f\left(x\right)=\frac{a}{2x+1}+\frac{1}{2}$   

 

Wystarczy, że spełniony będzie warunek  $a\ne \frac{7}{2}$      

Przykład takiej funkcji:

$f\left(x\right)=\frac{1}{2x+\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$  

 

 

d)

$y=\frac{-x}{2x-1}=\frac{1}{2}\cdot \frac{-x}{x-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{-x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}{x-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{-x+\frac{1}{2}}{x-\frac{1}{2}}-\frac{\frac{1}{2}}{x-\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\cdot \left(-1-\frac{\frac{1}{2}}{x-\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{4}}{x-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{2}}{2x-1}=-\frac{1}{2}+\frac{-\frac{1}{2}}{2x-1}$    

 

Asymptotą pionową tej paraboli jest prosta opisana równaniem  $x=\frac{1}{2}$    

Asymptotą poziomą jest prosta  $y=-\frac{1}{2}$    

   

Czyli szukamy funkcji homograficznej opisanej równaniem:

$f\left(x\right)=\frac{a}{2x-1}-\frac{1}{2}$   

 

Wystarczy, że spełniony będzie warunek  $a\ne -\frac{1}{2}$    

 

Przykład:  $f\left(x\right)=\frac{1}{2x-1}-\frac{1}{2}$