$x^2+\left(m+1\right)x-m^2+1=0$  

 

Wyznaczmy dla jakich wartości parametru m to równanie posiada dwa różne rozwiązania.

Aby równanie kwadratowe posiadało 2 różne rozwiązania, jego wyróżnik musi być większy od 0. 

$\Delta >0$  

 

$\Delta ={\left(m+1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-m^2+1\right)=m^2+2m+1+4m^2-4=5m^2+2m-3$   

 

$5m^2+2m-3>0$  

${\Delta }_m=2^2-4\cdot 5\cdot \left(-3\right)=4+60=64$  

 

$\sqrt{{\Delta }_m}=8$  

$m_1=\frac{-2-8}{2\cdot 5}=-\frac{10}{10}=-1$  

$m_2=\frac{-2+8}{2\cdot 5}=\frac{6}{10}=0,6$  

Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane w górę.

$\underline{m\in \left(-\infty ;-1\right)\cup \left(0,6;\infty \right)}$     - dla takich wartości parametru m równanie posiada dwa różne rozwiązania. 

 

---