Pamiętajmy, że jeśli wielomian posiada pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego.

Jeżeli wielomian posiada pierwiastek wymierny  $\frac{p}{q}$  , to wtedy liczba  $p$   jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a liczba  $q$   jest dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze.   

Jeżeli liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x), to wtedy wielomian W(x) jest podzielny przez x-a.

$W\left(x\right)=S\left(x\right)\cdot \left(x-a\right)$   

 

a)

$x^3+x^2-2=0$  

Zauważmy, że liczba x=1 jest pierwiastkiem tego równania. Możemy więc podzielić wielomian  $x^3+x^2-2$   przez  $x-1$  

  

$\left(x-1\right)\left(x^2+2x+2\right)=0$  

Iloczyn dwóch liczb jest równy 0, kiedy któryś z czynników jest równy 0.

$x-1=0\to \underline{x=1}$  

 

$x^2+2x+2=0$  

$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot 2=4-8=-4<0$  

 

Czyli jedynym rozwiązaniem równania jest

$\underline{x=1}$         

 

 

b)

$x^4-2x^2-8=0$  

Zastosujmy podstawienie

$x^2=t$  

$t\ge 0$   (kwadrat liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną - a więc liczba t jest liczbą nieujemną)

 

Wtedy nasze równanie możemy zapisać jako: