a)

$\left|x^3-x^2\right|=x$  

$\left|x^2\left(x-1\right)\right|=x$  

$x^2\cdot \left|x-1\right|=x$    - kwadrat liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc możemy wyciągnąć  $x^2$   poza wartość bezwzględną.   

 

Rozpatrzmy 2 przypadki - gdy liczba pod wartością bezwzględną jest nieujemna, oraz gdy jest ujemna.

 

1)

$x-1\ge 0$  

$x\ge 1$      

$x^2\cdot \left(x-1\right)=x$    - opuszczamy znak wartości bezwzględnej nie zmieniając znaku wyrażenia pod wartością bezwzględną

$x^3-x^2=x$  

$x^3-x^2-x=0$  

$x\left(x^2-x-1\right)=0$  

$x=0\vee x^2-x-1=0$  

 

$x^2-x-1=0$  

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-1\right)=1+4=5$  

 

$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$  

 

$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}$    - to rozwiązanie odpada, ponieważ rozpatrujemy przedział  $x\in ⟨1;\infty )$  

 

 

2)

$x<1$        

$x^2\cdot \left(-x+1\right)=x$   - opuszczamy znak wartości bezwzględnej, zmieniając znak liczby pod wartością bezwzględną

$-x^3+x^2-x=0$  

$x\left(-x^2+x-1\right)=0$  

$x=0\vee -x^2+x-1=0$  

 

$-x^2+x-1=0$    

$\Delta =1-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-1\right)=1-4=-3$   - czyli w tym przedziale jedyne rozwiązanie to x = 0

 

Zbierając wszystkie uzyskane rozwiązania otrzymujemy:

$x\in \left\{0,\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right\}$     

---

b)