a)

$\left|x^2-2x\right|\ge x^3$  

 

Wyznaczmy przedział, dla którego liczba pod wartością bezwzględną jest nieujemna:

$x^2-2x\ge 0$  

Wyznaczmy miejsca zerowe:

$x\left(x-2\right)=0$  

$x=0$  

$x-2=0\to x=2$  

Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane w górę.

$x\in (-\infty ;0⟩\cup ⟨2;\infty )$    - dla takich x liczba pod wartością bezwzględną jest nieujemna.

 

 

1)

Rozpatrujemy przedział  $\mathbf{x}\in (-\infty ;0⟩\cup ⟨2;\infty )$    - czyli możemy opuścić znak wartości bezwzględnej, nie zmieniając znaku wyrażenia pod wartością bezwzględną.

$x^2-2x\ge x^3$   

$-x^3+x^2-2x\ge 0$  

$-x\left(x^2-x+2\right)\ge 0$       

 

$x^2-x+2=0$  

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot 2=1-8=-7<0$   - czyli nie ma miejsc zerowych.

 

Rozważmy funkcje  $f\left(x\right)=x^2-x+2$   - ta funkcja nie posiada miejsc zerowych, współczynnik przy  $a^2$   jest dodatni, więc parabola będąca jej wykresem ma ramiona skierowane w górę, zatem w całości znajduje się nad osią OX - a więc funkcja f(x) przyjmuje wartości tylko i wyłącznie dodatnie.

Możemy więc podzielić obie strony nierówności przez $x^2-x+2$  , dostaniemy wtedy:

$-x\ge 0$  

$x\le 0$  

 

Biorąc pod uwagę, jaki przedział rozpatrujemy, rozwiązaniem w tym przedziale jest zbiór:

$\underline{x\in (-\infty ,0⟩}$  

 

 

2)

Rozpatrujemy przedział  $\mathbf{x}\in \left(0;2\right)$    - możemy opuścić znak wartości bezwzględnej, pamiętając o zmianie znaku.