$\sqrt{x^2+4x+4}\ge 11-\sqrt{x^2-6x+9}$   

 

Skorzystamy z wzorów skróconego mnożenia na kwadrat sumy i różnicy:

$a^2+2ab+b^2={\left(a+b\right)}^2$  

$a^2-2ab+b^2={\left(a-b\right)}^2$     

 

Wyznaczmy dziedzinę.

Liczba pod pierwiastkiem nie może być ujemna, a więc:

$x^2+4x+4\ge 0$  

${\left(x+2\right)}^2\ge 0$   - warunek jest zawsze spełniony - kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze liczbą nieujemną.

 

$x^2-6x+9\ge 0$  

${\left(x-3\right)}^2\ge 0$    - warunek jest zawsze spełniony - kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze liczbą nieujemną.

 

---

$\sqrt{{\left(x+2\right)}^2}\ge 11-\sqrt{\left(x-3^2\right)}$  

 

$\left|x+2\right|\ge 11-\left|x-3\right|$  

 

$\left|x+2\right|+\left|x-3\right|-11\ge 0$   

 

Dla  $x<-2$   liczby pod obydwiema wartościami bezwzględnymi są ujemne, dla  $x\in ⟨-2;3)$   liczba pod pierwszą wartością bezwzględną jest nieujemna, a pod drugą ujemna, a dla  $x\ge 3$   obie liczby są nieujemne.

Czyli mamy do rozpatrzenia 3 przypadki.

 

1)

$x<-2$        

$-x-2-x+3-11\ge 0$  

$-2x-10\ge 0$  

$-2x\ge 10$  

$x\le -5$  

Liczba x musi spełniać jednocześnie oba warunki: $x<-2$   oraz  $x\le -5$  .  Czyli z tego przedziału mamy:

$x\le -5$    

 

2)

$x\in ⟨-2;3)$  

$x+2-x+3-11\ge 0$  

$-6\ge 0$   - otrzymaliśmy sprzeczność - czyli w tym przedziale nie mamy rozwiązań

 

3)

$x\ge 3$  

$x+2+x-3-11\ge 0$  

$2x-12\ge 0$  

$2x\ge 12\mid :2$  

$x\ge 6$  

Liczba x musi spełniać jednocześnie oba warunki: $x\ge 3$   oraz  $x\ge 6$  . Czyli z tego przedziału mamy:

$x\ge 6$                  

 

 

Sumując wszystkie uzyskane przedziały otrzymujemy, że:

$x\in (-\infty ;-5⟩\cup ⟨6;\infty )$