Pamiętajmy, że jeśli wielomian posiada pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego.

Jeżeli wielomian posiada pierwiastek wymierny  $\frac{p}{q}$    , to wtedy liczba p  jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a liczba q  jest dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze.   

Jeżeli liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x), to wtedy wielomian W(x) jest podzielny przez x-a.

$W\left(x\right)=S\left(x\right)\cdot \left(x-a\right)$   

 

a)

$x^3-x+6>0$   

 

Spróbujmy zapisać wielomian  $x^3-x+6$   jako iloczyn wielomianów o niższych potęgach. 

Rozważmy wielomian:

$W\left(x\right)=x^3-x+6$   

  

Dzielnikami wyrazu wolnego są liczby  $-6,-3,-2,-1,1,2,3,6$

Sprawdźmy wartość wielomianu W(x) dla kolejnych dzielników:

$W\left(1\right)=1^3-1+6=6\ne 0$  

 

$W\left(2\right)=2^3-2+6=8-2+6=12\ne 0$  

 

$W\left(-2\right)={\left(-2\right)}^3+2+6=-8+2+6=0$     - czyli liczba  -2 jest pierwiastkiem tego wielomianu.

 

Podzielmy wielomian W(x) przez wielomian x+2:

    

 

$W\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(x^2-2x+3\right)$   

 

Sprawdźmy, czy wyrażenie w prawym nawiasie możemy rozłożyć na iloczyn:

$x^2-2x+3=0$  

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot 3=4-12=-8<0$   - czyli naszego wielomianu nie można rozłożyć jeszcze bardziej - posiada on tylko jeden pierwiastek  $x=-2$  

    

$\left(x+2\right)\left(x^2-2x+3\right)>0$   - wyrażenie w drugim nawiasie jest zawsze różne od zera (ponieważ $\Delta >0$  , więc nie ma miejsc zerowych) oraz jest zawsze dodatnie (współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane w górę) - możemy więc podzielić obie strony równania przez  $x^2-2x+3$  

 

$x+2>0$  

$x>-2$  

$\underline{x\in \left(-2;\infty \right)}$  

 

 

b)