a)

$f\left(x\right)=\frac{\left|x\right|}{x}$  

 

Określmy dziedzinę:

Mianownik nie może być zerem, a więc:

$x\ne 0$  

 

Dla  $x>0$   funkcja f przyjmuje postać:

$f\left(x\right)=\frac{x}{x}=1$  

 

Dla  $x<0$   funkcja f przyjmuje postać:

$f\left(x\right)=-\frac{x}{x}=-1$  

 

Naszkicujmy wykres funkcji f(x):

      

 

---

Funkcja symetryczna względem prostej $x=a$ spełnia warunek $f{}^{\prime }\left(x\right)=f\left(2a-x\right)$    

Rysujemy wykres funkcji  $f\left(-x\right).$   Następnie musimy przesunąć go o 2a jednostek w poziomie:

 

 

 

---

Czyli chcemy narysować wykres symetryczny do prostej o równaniu  $x=1$   

 

 

 

 

b)

$f\left(x\right)=x-2\sqrt{x^2}=x-2\left|x\right|$  

Wyrażenie pod pierwiastkiem jest zawsze nieujemne, a więc:

$x\in R$     

 

Dla  $x\ge 0$   funkcja f ma postać:

$f\left(x\right)=x-2x=-x$  

 

Dla  $x<0$   funkcja f ma postać:

$f\left(x\right)=x-2\cdot \left(-x\right)=x+2x=3x$  

 

Narysujmy wykres funkcji f:

    

 

$g\left(x\right)=f\left(2-x\right)$    

Funkcja symetryczna względem prostej $x=a$ spełnia warunek $f\left(x\right)=f\left(2a-x\right)$   

Czyli chcemy narysować wykres symetryczny do prostej o równaniu  $x=1$   

 

 

 

 

 

 

c)

$f\left(x\right)=\left|\left|x\right|-2\right|$  

 

Dla  $x\ge 0$     mamy:

$f\left(x\right)=\left|x-2\right|$   

 

Dla  $x<0$      mamy:

$f\left(x\right)=\left|-x-2\right|=\left|\left(-1\right)\cdot \left(x+2\right)\right|=\left|\left(-1\right)\right|\cdot \left|x+2\right|=\left|x+2\right|$      

 

Narysujmy wykres funkcji f(x):

 

$g\left(x\right)=f\left(2-x\right)$    

Funkcja symetryczna względem prostej $x=a$ spełnia warunek $f\left(x\right)=f\left(2a-x\right)$   

Czyli chcemy narysować wykres symetryczny do prostej o równaniu  $x=1$   

 

 

 

d)

$f\left(x\right)=\left|{\sqrt{x-1}}^2-3\right|$   

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, możemy więc zapisać:

  $x\in R$      

 

$f\left(x\right)=\left|{\sqrt{x-1}}^2-3\right|=\left|\left|x-1\right|-3\right|$  

 

$x-1\ge 0\to x\ge 1$   

Dla  $x\ge 1$   funkcja f(x) przyjmuje postać:

$f\left(x\right)=\left|x-1-3\right|=\left|x-4\right|$   

 

Dla  $x<1$    funkcja f(x) przyjmuje postać:

$f\left(x\right)=\left|-x+1-3\right|=\left|-x-2\right|=\left|x+2\right|$   

 

Narysujmy wykres funkcji f(x):

 

    

 

$g\left(x\right)=f\left(2-x\right)$    - czyli wykres funkcji f możemy przesunąć o 2 jednostki w lewo, a następnie rysujemy wykres symetryczny względem osi OY względem otrzymanego: