$x\in R\text{ }\left\{0\right\}$  

 

Chcemy pokazać, że:

$\frac{9x^4+1}{x^2}\ge 6$   

 

$\frac{9x^4+1}{x^2}-6\ge 0$  

 

$\frac{9x^4+1}{x^2}-\frac{6x^2}{x^2}\ge 0$   

 

$\frac{9x^4+1-6x^2}{x^2}\ge 0$   

 

Jeśli iloraz dwóch liczb jest liczbą nieujemną, to iloczyn tych liczb jest również liczbą nieujemną, możemy więc zapisać:

$\left(9x^4+1-6x^2\right)\cdot x^2\ge 0$   

Wiemy, że  $x\ne 0$  , oraz że kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej różnej od 0 jest liczbą dodatnią, możemy więc podzielić obie strony nierówności przez  $x^2$  

 

$9x^4-6x^2+1\ge 0$   

 

${\left(3x^2-1\right)}^2\ge 0$   

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc tę nierówność spełnia każda liczba rzeczywista.

 

 

 

Uwaga!

W tym dowodzie rozumowanie zaczęliśmy od tego, co chcieliśmy udowodnić (od tezy).

Możemy jednak wykorzystać to rozumowanie w następujący sposób: