$\left|x^2-3x+2\right|\ge \left|x-1\right|$   

 

Zapiszmy wyrażenie z lewej strony w postaci iloczynu.

 

Możemy zatem zapisać, że:

$x^2-3x+2=\left(x-1\right)\left(x-2\right)$   

 

$\left|x^2-3x+2\right|\ge \left|x-1\right|$  

 

$\left|\left(x-1\right)\cdot \left(x-2\right)\right|\ge \left|x-1\right|$  

 

$\left|x-1\right|\cdot \left|x-2\right|\ge \left|x-1\right|$  

 

$\left|x-1\right|\cdot \left|x-2\right|-\left|x-1\right|\ge 0$   

 

$\left|x-1\right|\cdot \left(\left|x-2\right|-1\right)\ge 0$         

 

Iloczyn dwóch liczb jest liczbą dodatnią, kiedy obie liczby mają taki sam znak. Wiemy, że wartość bezwzględna z liczby jest zawsze liczbą nieujemną, czyli:

$\left|x-1\right|\ge 0$  

 

Skoro pierwszy czynnik jest zawsze nieujemny, to znaczy, że drugi również musi być nieujemny.

$\left|x-2\right|-1\ge 0$  

 

Musimy wyznaczyć zbiór x spełniający tę nierówność. 

$\left|x-2\right|\ge 1$  

 

Aby była spełniona ta nierówność, musi zachodzić jeden z dwóch warunków:

$x-2\ge 1$       lub  2)    $-1\ge x-2$        

 

1)

$x-2\ge 1$  

$x\ge 3$  

 

2)

$-1\ge x-2$   

  $1\ge x$  

 

Sumując oba otrzymane przedziały dostajemy:

$x\in \left(-\infty ;1>\cup <3;\infty \right)$