$\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}=3$   

 

W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy

${\left(a+b\right)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$  

 

Oznaczmy lewą stronę tego wyrażenia jako a:

 

$\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}=a\mid {\left(\right)}^3$   

 

$9+\sqrt{80}+3\cdot \sqrt[3]{{\left(9+\sqrt{80}\right)}^2}\cdot \sqrt[3]{9-\sqrt{80}}+3\cdot \sqrt[3]{9+\sqrt{80}}\cdot \sqrt[3]{{\left(9-\sqrt{80}\right)}^2}+9-\sqrt{80}=a^3$  

 

$18+3\cdot \sqrt[3]{{\left(9+\sqrt{80}\right)}^2\cdot \left(9-\sqrt{80}\right)}+3\cdot \sqrt[3]{\left(9+\sqrt{80}\right)\cdot {\left(9-\sqrt{80}\right)}^2}=a^3$  

 

$18+3\cdot \sqrt[3]{\left(9+\sqrt{80}\right)\cdot \underbrace{\left(9+\sqrt{80}\right)\cdot \left(9-\sqrt{80}\right)}}+3\cdot \sqrt[3]{\underbrace{\left(9+\sqrt{80}\right)\cdot \left(9-\sqrt{80}\right)}\cdot \left(9-\sqrt{80}\right)}=a^3$                

 

Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

$\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$  

 

$18+3\cdot \sqrt[3]{\left(9+\sqrt{80}\right)\cdot \left(81-80\right)}+3\cdot \sqrt[3]{\left(81-80\right)\cdot \left(9-\sqrt{80}\right)}=a^3$  

 

$18+3\cdot \sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+3\cdot \sqrt[3]{9-\sqrt{80}}=a^3$  

 

$18+3\left(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}\right)=a^3$  

 

Zauważmy, że w nawiasie mamy wyrażenie, które wcześniej opisaliśmy jako a.

(na początku zastosowaliśmy podstawienie:

$\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}=a$  

)

 

Możemy zatem zapisać:

$18+3a=a^3$  

$0=a^3-3a-18$   

 

Wiemy, że liczba 3 jest rozwiązaniem tego równania,  możemy więc podzielić ten wielomian przez wyrażenie  $a-3$  

 

 

 

Czyli możemy zapisać, że:

$a^3-3a-18=\left(a-3\right)\left(a^2+3a+6\right)$  

 

$\left(a-3\right)\left(a^2+3a+6\right)=0$     

 

Sprawdźmy, kiedy iloczyn w drugim nawiasie jest równy 0:

$a^2+3a+6=0$  

$\Delta =3^2-4\cdot 1\cdot 24=9-96=-87<0$  

 

Delta wyszła ujemna, czyli jedynym pierwiastkiem równania jest

$a=3$  

 

A więc

$\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}=a=3$