$\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}$    

 

Niech liczba a będzie równa liczbie zapisanej powyżej: 

$\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}=a\mid {\left(\right)}^3$   

 

${\left(\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}\right)}^3=a^3$  

 

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian różnicy:

${\left(a-b\right)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$   

 

$\left(\sqrt{5}+2\right)-3\cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}\right)}^2\cdot \sqrt[3]{\sqrt{5}-2}+3\cdot \sqrt[3]{\sqrt{5}+2}\cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}\right)}^2-\left(\sqrt{5}-2\right)=a^3$  

 

$\sqrt{5}+2-3\cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt{5}+2\right)}^2}\cdot \sqrt[3]{\sqrt{5}-2}+3\cdot \sqrt[3]{\sqrt{5}+2}\cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt{5}-2\right)}^2}-\sqrt{5}+2=a^3$  

 

$4-3\cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt{5}+2\right)}^2\cdot \left(\sqrt{5}-2\right)}+3\cdot \sqrt[3]{\left(\sqrt{5}+2\right)\cdot {\left(\sqrt{5}-2\right)}^2}=a^3$  

 

$4-3\cdot \sqrt[3]{\left(\sqrt{5}+2\right)\cdot \underset{\text{stosujemy wzoˊr skroˊconego mnoz˙enia na roˊz˙nicę kwadratoˊw}}{\underbrace{\left(\sqrt{5}+2\right)\cdot \left(\sqrt{5}-2\right)}}}+3\cdot \sqrt[3]{\underset{\text{stosujemy wzoˊr skroˊconego mnoz˙enia na roˊz˙nicę kwadratoˊw}}{\underbrace{\left(\sqrt{5}+2\right)\cdot \left(\sqrt{5}-2\right)}}\cdot \left(\sqrt{5}-2\right)}=a^3$    

 

$4-3\cdot \sqrt[3]{\left(\sqrt{5}+2\right)\cdot \left(5-4\right)}+3\cdot \sqrt[3]{\left(5-4\right)\cdot \left(\sqrt{5}-2\right)}=a^3$  

 

$4-3\cdot \sqrt[3]{\sqrt{5}+2}+3\cdot \sqrt[3]{\sqrt{5}-2}=a^3$  

 

$4-3\cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}\right)=a^3$           

 

 

Zauważmy, ze wyrażenie w nawiasie jest równe a (na samym początku zastosowaliśmy podstawienie  $\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}=a$  )

 

Możemy więc zapisać:

$4-3\cdot a=a^3$  

 

$0=a^3+3a-4$  

 

Sprawdźmy, czy liczba 1 jest rozwiązaniem tego równania:

$P=1^3+3-4=4-4=0$  

Czyli liczba $a=1$    jest jednym z rozwiązań tego równania.

 

Czyli otrzymane wyrażenie możemy podzielić przez  $a-1$  

 

 

 

Czyli możemy zapisać, że:

$a^3+3a-4=\left(a-1\right)\left(a^2+a+4\right)$  

 

$\left(a-1\right)\left(a^2+a+4\right)=0$  

Iloczyn dwóch liczb jest równy 0, kiedy któryś z czynników jest równy 0.

Sprawdźmy, czy drugi z czynników również może przyjmować wartość 0:

$a^2+a+4=0$  

 

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot 4=1-16=-15$   - delta wyszła ujemna, czyli to wyrażenie nie przyjmuje wartości 0 w liczbach rzeczywistych

 

Zatem jedynym rozwiązaniem tego równania jest

$a=1$        

 

A więc:

$\underline{\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}=1}$   

 

 

Liczba 1 jest liczbą całkowitą, co należało pokazać.