${x}-$liczba pokoi ${1}-$osobowych, ${x}\in{\mathbf{{N}}}$ 

${y}-$ liczba pokoi ${2}-$osobowych, ${y}\in{\mathbf{{N}}}$       

Z treści zadania wynikają następujące ograniczenia:

${x}+{y}\le{25}$ 

${x}\ge{3}$ 

${y}\ge{6}$ 

${y}\le{4}{x}$ 

Funkcja opisująca przychód z wynajęcia pokoi:

${f{{\left({x},\ {y}\right)}}}={150}{x}+{250}{y}$   

Funkcja ${f}$  będzie przyjmowała największą wartość w punkcie przecięcia prostych ograniczających obszar

zadany powyższymi nierównościami.

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostych:

${\left\lbrace\begin{array}{c} {x}={3}\\{y}={6}\\{x}+{y}={25}\\{y}={4}{x}\end{array}\right.}$ 

${P}_{{1}}={\left({3},\ {6}\right)}$ 

Wyznaczamy ${P}_{{2}}:$ 

${\left\lbrace\begin{array}{c} {x}={3}\\{x}+{y}={25}\end{array}\right.}$ 

${\left\lbrace\begin{array}{c} {x}={3}\\{3}+{y}={25}\end{array}\right.}$ 

${\left\lbrace\begin{array}{c} {x}={3}\\{y}={22}\end{array}\right.}$ 

${P}_{{2}}={\left({3},\ {22}\right)}$ 

Wyznaczamy ${P}_{{3}}:$ 

${\left\lbrace\begin{array}{c} {x}={3}\\{y}={4}{x}\end{array}\right.}$ 

${\left\lbrace\begin{array}{c} {x}={3}\\{y}={12}\end{array}\right.}$ 

${P}_{{3}}={\left({3},\ {12}\right)}$ 

Wyznaczamy ${P}_{{4}}:$ 

${\left\lbrace\begin{array}{c} {y}={6}\\{x}+{y}={25}\end{array}\right.}$ 

${\left\lbrace\begin{array}{c} {y}={6}\\{x}+{6}={25}\end{array}\right.}$ 

${\left\lbrace\begin{array}{c} {y}={6}\\{x}={19}\end{array}\right.}$ 

${P}_{{4}}={\left({19},\ {6}\right)}$ 

Wyznaczamy ${P}_{{5}}:$ 

${\left\lbrace\begin{array}{c} {y}={6}\\{y}={4}{x}\end{array}\right.}$ 

${\left\lbrace\begin{array}{c} {y}={6}\\{6}={4}{x}\end{array}\right.}$ 

${\left\lbrace\begin{array}{c} {y}={6}\\{x}=\frac{{3}}{{2}}\notin{\mathbf{{N}}}\end{array}\right.}$ 

Wyznaczamy ${P}_{{6}}:$  

${\left\lbrace\begin{array}{c} {x}+{y}={25}\\{y}={4}{x}\end{array}\right.}$ 

${\left\lbrace\begin{array}{c} {x}+{4}{x}={25}\\{y}={4}{x}\end{array}\right.}$ 

${\left\lbrace\begin{array}{c} {5}{x}={25}\ \text{/}:{5}\\{y}={4}{x}\end{array}\right.}$ 

${\left\lbrace\begin{array}{c} {x}={5}\\{y}={4}{x}\end{array}\right.}$ 

${\left\lbrace\begin{array}{c} {x}={5}\\{y}={20}\end{array}\right.}$ 

${P}_{{6}}={\left({5},\ {20}\right)}$ 

Należy teraz sprawdzić, czy wyznaczone punkty spełniają wszystkie nierówności. 

Punkt ${P}_{{2}}$ nie spełnia nierówności ${y}\le{4}{x},$ bo:

${4}{x}={4}\cdot{3}={12}<{22}$ 

Pozostałe punkty spełniają wszystkie nierówności.

W takim razie obszar wyznaczony przez układ nierówności będzie wielokątem o czterech wierzchołkach -

punktach ${P}_{{1}},\ {P}_{{3}},\ {P}_{{4}},\ {P}_{{6}}.$ 

Wiemy, że funkcja liniowa dwóch zmiennych, określona w obszarze będącym wielokątem wypukłym,

przyjmuje wartość największą/najmniejszą w jednym z wierzchołków tego wielokąta.

Obliczymy wartości funkcji ${f{{\left({x},\ {y}\right)}}}={150}{x}+{250}{y}$ we wszystkich wierzchołkach i ocenimy, która jest największa. 

${f{{\left({3},\ {6}\right)}}}={450}+{900}={1350}$ 

${f{{\left({3},\ {12}\right)}}}={450}+{3000}={3450}$ 

${f{{\left({19},\ {6}\right)}}}={2850}+{1500}={4350}$ 

${f{{\left({5},\ {20}\right)}}}={750}+{5000}={5750}-$ wartość największa

Odp. Powinno być ${5}$ pokoi ${1}-$osobowych i ${20}$ pokoi ${2}-$osobowych.