Klasa
II liceum
Przedmiot
Matematyka
Wybierz książkę
Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum, Zbiór zadań
  • 1.214

    Zadanie

  • 1.215

    Zadanie

  • 1.216

    Zadanie

  • 1.217

    Zadanie

  • 1.218

    Zadanie

  • 1.219

    Zadanie

x{x}-liczba pokoi 1{1}-osobowych, xN{x}\in{\mathbf{{N}}} 

y{y}- liczba pokoi 2{2}-osobowych, yN{y}\in{\mathbf{{N}}}       

Z treści zadania wynikają następujące ograniczenia:

x+y25{x}+{y}\le{25} 

x3{x}\ge{3} 

y6{y}\ge{6} 

y4x{y}\le{4}{x} 

Funkcja opisująca przychód z wynajęcia pokoi:

f(x, y)=150x+250y{f{{\left({x},\ {y}\right)}}}={150}{x}+{250}{y}   

Funkcja f{f}  będzie przyjmowała największą wartość w punkcie przecięcia prostych ograniczających obszar

zadany powyższymi nierównościami.

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostych:

{x=3y=6x+y=25y=4x{\left\lbrace\begin{array}{c} {x}={3}\\{y}={6}\\{x}+{y}={25}\\{y}={4}{x}\end{array}\right.} 

P1=(3, 6){P}_{{1}}={\left({3},\ {6}\right)} 

Wyznaczamy P2:{P}_{{2}}: 

{x=3x+y=25{\left\lbrace\begin{array}{c} {x}={3}\\{x}+{y}={25}\end{array}\right.} 

{x=33+y=25{\left\lbrace\begin{array}{c} {x}={3}\\{3}+{y}={25}\end{array}\right.} 

{x=3y=22{\left\lbrace\begin{array}{c} {x}={3}\\{y}={22}\end{array}\right.} 

P2=(3, 22){P}_{{2}}={\left({3},\ {22}\right)} 

Wyznaczamy P3:{P}_{{3}}: 

{x=3y=4x{\left\lbrace\begin{array}{c} {x}={3}\\{y}={4}{x}\end{array}\right.} 

{x=3y=12{\left\lbrace\begin{array}{c} {x}={3}\\{y}={12}\end{array}\right.} 

P3=(3, 12){P}_{{3}}={\left({3},\ {12}\right)} 

Wyznaczamy P4:{P}_{{4}}: 

{y=6x+y=25{\left\lbrace\begin{array}{c} {y}={6}\\{x}+{y}={25}\end{array}\right.} 

{y=6x+6=25{\left\lbrace\begin{array}{c} {y}={6}\\{x}+{6}={25}\end{array}\right.} 

{y=6x=19{\left\lbrace\begin{array}{c} {y}={6}\\{x}={19}\end{array}\right.} 

P4=(19, 6){P}_{{4}}={\left({19},\ {6}\right)} 

Wyznaczamy P5:{P}_{{5}}: 

{y=6y=4x{\left\lbrace\begin{array}{c} {y}={6}\\{y}={4}{x}\end{array}\right.} 

{y=66=4x{\left\lbrace\begin{array}{c} {y}={6}\\{6}={4}{x}\end{array}\right.} 

{y=6x=32N{\left\lbrace\begin{array}{c} {y}={6}\\{x}=\frac{{3}}{{2}}\notin{\mathbf{{N}}}\end{array}\right.} 

Wyznaczamy P6:{P}_{{6}}:  

{x+y=25y=4x{\left\lbrace\begin{array}{c} {x}+{y}={25}\\{y}={4}{x}\end{array}\right.} 

{x+4x=25y=4x{\left\lbrace\begin{array}{c} {x}+{4}{x}={25}\\{y}={4}{x}\end{array}\right.} 

{5x=25 /:5y=4x{\left\lbrace\begin{array}{c} {5}{x}={25}\ \text{/}:{5}\\{y}={4}{x}\end{array}\right.} 

{x=5y=4x{\left\lbrace\begin{array}{c} {x}={5}\\{y}={4}{x}\end{array}\right.} 

{x=5y=20{\left\lbrace\begin{array}{c} {x}={5}\\{y}={20}\end{array}\right.} 

P6=(5, 20){P}_{{6}}={\left({5},\ {20}\right)} 

Należy teraz sprawdzić, czy wyznaczone punkty spełniają wszystkie nierówności. 

Punkt P2{P}_{{2}} nie spełnia nierówności y4x,{y}\le{4}{x}, bo:

4x=43=12<22{4}{x}={4}\cdot{3}={12}<{22} 

Pozostałe punkty spełniają wszystkie nierówności.

W takim razie obszar wyznaczony przez układ nierówności będzie wielokątem o czterech wierzchołkach -

punktach P1, P3, P4, P6.{P}_{{1}},\ {P}_{{3}},\ {P}_{{4}},\ {P}_{{6}}. 

Wiemy, że funkcja liniowa dwóch zmiennych, określona w obszarze będącym wielokątem wypukłym,

przyjmuje wartość największą/najmniejszą w jednym z wierzchołków tego wielokąta.

Obliczymy wartości funkcji f(x, y)=150x+250y{f{{\left({x},\ {y}\right)}}}={150}{x}+{250}{y} we wszystkich wierzchołkach i ocenimy, która jest największa. 

f(3, 6)=450+900=1350{f{{\left({3},\ {6}\right)}}}={450}+{900}={1350} 

f(3, 12)=450+3000=3450{f{{\left({3},\ {12}\right)}}}={450}+{3000}={3450} 

f(19, 6)=2850+1500=4350{f{{\left({19},\ {6}\right)}}}={2850}+{1500}={4350} 

f(5, 20)=750+5000=5750{f{{\left({5},\ {20}\right)}}}={750}+{5000}={5750}- wartość największa

Odp. Powinno być 5{5} pokoi 1{1}-osobowych i 20{20} pokoi 2{2}-osobowych.   

Komentarze

Avatar komentatora
Porky :D 3 października 2018
Dziękuję :)
0