Wypiszmy cechy podzielności, które znamy. 

Liczba jest podzielna przez:

• 2, jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0, 2, 4, 6 lub 8
• 3, jeśli suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 3
• 4, jeśli liczba utworzona z jej dwóch ostatnich cyfr jest podzielna przez 4
• 5, jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
• 9, jeśli suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 9
• 10, jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0

 

Cechy podzielności przez większe liczby tworzymy, zapisując daną liczbę jako iloczyn liczb, których cechy podzielności znamy, przy czym te liczby muszą być względnie pierwsze (nie mogą mieć wspólnego dzielnika). Gdyby miały wspólny dzielnik, to cecha podzielności nie byłaby prawdziwa - np. jeśli liczba dzieli się przez 2 i przez 4, to wcale nie jest podzielna przez 8 (na przykład liczba 4 dzieli się przez 2 i przez 4, ale nie dzieli się przez 8). Dzieje się tak dlatego, że 4=2∙2, więc z podzielności przez 4 już wynika podzielność przez 2. 

$\underline{\text{cecha podzielnosˊci przez 12}}$

Liczba jest podzielna przez 12, jeśli dzieli się przez 3 i przez 4, czyli gdy suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 3 i liczba utworzona z jej dwóch ostatnich cyfr jest podzielna przez 4.

 

$\underline{\text{cecha podzielnosˊci przez 15}}$ $\underline{\text{cecha podzielnosˊci przez 15}}$

Liczba jest podzielna przez 15, jeśli dzieli się przez 3 i przez 5, czyli gdy suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 3 i  jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5. 

 

$\underline{\text{cecha podzielnosˊci przez 20}}$

Liczba jest podzielna przez 20, jeśli dzieli się przez 5 i przez 4, czyli gdy jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5, a liczba utworzona z dwóch ostatnich cyfr jest liczbą podzielną przez 4. 

Zauważmy, że jeśli liczba ma na końcu cyfrę 5 to na pewno nie dzieli się przez 4 (bo liczba mająca na końcu cyfrę 5 jest nieparzysta, a liczba podzielna przez 4 musi być parzysta). 
Możemy więc cechę podzielności ując krócej: liczba dzieli się przez 20, jeśli ma na końcu 0, a liczba utworzona z jej dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez 4. 

Liczba utworzona z dwóch cyfr, mająca na końcu 0, podzielna przez 4 to: 00, 20, 40, 60, 80. Możemy więc ostatecznie zapisać cechę podzielności przez 20: liczba dzieli się przez 20, jeśli jej dwie ostatnie cyfry to: 00, 20, 40, 60, 80. 

 

$\underline{\text{cecha podzielnosˊci przez 24}}$

Liczba jest podzielna przez 24, jeśli dzieli się przez 2, 3, 4, czyli gdy jej ostatnią cyfrą jest 0, 2, 4, 6 lub 8, suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 3 i liczba utworzona z jej dwóch ostatnich cyfr jest podzielna przez 4. 

 

$\underline{\text{cecha podzielnosˊci przez 36}}$

Liczba jest podzielna przez 36, jeśli dzieli się przez 4 i przez 9, czyli gdy liczba utworzona z jej dwóch ostatnich cyfr jest podzielna przez 4 i suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 9. 

 

 

$a)$  

Liczba 4 829 370:

• nie dzieli się przez 12, bo nie dzieli się przez 4 (liczba utworzona z dwóch ostatnich cyfr to 70, a 70 nie dzieli się przez 4)
• dzieli się przez 15, bo dzieli się przez 3 (suma cyfr wynosi 4+8+2+9+3+7+0=33) i dzieli się przez 5 (ostatnia cyfra jest równa 0)
• nie dzieli się przez 20 (bo liczba utworzona z dwóch ostatnich cyfr to 70)
• nie dzieli się przez 24, bo nie dzieli się przez 4
• nie dzieli się przez 36, bo nie dzieli się przez 4

 

$b)$  

Liczba 3 425 220:

• dzieli się przez 12, bo dzieli się przez 3 (suma cyfr wynosi 3+4+2+5+2+2+0=18) i dzieli się przez 4 (liczba utworzona z dwóch ostatnich cyfr to 20)
• dzieli się przez 15, bo dzieli się przez 3 i dzieli się przez 5 (ostatnia cyfra to 0)
• dzieli się przez 20 (bo liczba utworzona z dwóch ostatnich cyfr to 20)
• dzieli się przez 24, bo dzieli się przez 2 (ostatnia cyfra to 0), dzieli się przez 3 i dzieli się przez 4
• dzieli się przez 36, bo dzieli się przez 4 i dzieli się przez 9 (suma cyfr wynosi 18)

 

$c)$  

Liczba 1 420 692:

• dzieli się przez 12, bo dzieli się przez 3 (suma cyfr wynosi 1+4+2+0+6+9+2=24) i dzieli się przez 4 (liczba utworzona z dwóch ostatnich cyfr to 92, a 92:4=23)
• nie dzieli się przez 15, bo nie dzieli się przez 5 (ostatnia cyfra to 2)
• nie dzieli się przez 20, bo nie dzieli się przez 5
• dzieli się przez 24, bo dzieli się przez 2 (ostatnia cyfra jest równa 2), dzieli się przez 3 i dzieli się przez 4
• nie dzieli się przez 36, bo nie dzieli się przez 9 (suma cyfr jest równa 24)