Matematyka

Autorzy:Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab i Elżbieta Świda

Wydawnictwo:Oficyna Edukacyjna Krzysztof Pazdro

Rok wydania:2013

Trójkąt równoboczny ABC ma bok długości 20 cm 4.54 gwiazdek na podstawie 13 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`a)` 

`|AM|=|BN|=|CP|=x` 

`|MC|=|PB|=|AN|=20-x` 

 

Oczywiście długości boków muszą być liczbami dodatnimi, więc zapiszmy założenia: 

`{(x>0), (20-x>0):}\ \ \ =>\ \ \ {(x>0), (x<20):}\ \ \ =>\ \ \ x in (0,\ 20)` 

 

Zauważmy, że kąty przy wierzchołkach A, B, C są równe (mają po 60 stopni), więc trójkąty ANM, BPN, CMP są przystające na mocy cechy bok-kąt-bok (mają 2 takie same boki a między nimi kąt 60°), czyli ich pola są takie same: 

`P_(DeltaANM)=P_(DeltaBPN)=P_(DeltaCMP)=1/2*x*(20-x)*sin60^o=sqrt3/4*x*(20-x)` 

 

Obliczmy pole trójkąta ABC:

`P_(DeltaABC)=(20^2sqrt3)/4=(400sqrt3)/4=100sqrt3` 

 

Pole trójkąta MNP obliczymy odejmując od pola trójkąta ABC 3 pola mniejszych trójkątów:

`P_(DeltaMNP)=100sqrt3-(3sqrt3)/4x(20-x)=` `100sqrt3-15sqrt3x+(3sqrt3)/4x^2=(3sqrt3)/4x^2-15sqrt3x+100sqrt3` 

 

 

 

`b)` 

Pole trójkąta MNP jest wyrażone za pomocą funkcji kwadratowej o dodatnim współczynniku a, więc ramiona paraboli są skierowane w górę, jest osiągana wartość najmniejsza - w wierzchołku.

`x=p=(15sqrt3)/(2*(3sqrt3)/4)=` `(15sqrt3)/((3sqrt3)/2)=15sqrt3:(3sqrt3)/2=15sqrt3*2/(3sqrt3)=` `15*2/3=10` 

Wystarczy więc wybrać pinkty M, N, P w odległości 10 cm od wierzchołków A, B, C.