Dane:

$t_1=0^{\circ }\text{C}\text{, czyli }{T}_1=273\text{K}$  

$t_2={30}^{\circ }\text{C}\text{, czyli }{T}_2=303\text{K}$    

$l=250,00\text{mm}=0,25\text{m}$   

${\lambda }_{\text{pw}}=1,0\cdot {10}^{-4}\frac{1}{\text{K}}$  

${\lambda }_{\text{s}}=1,2\cdot {10}^{-5}\frac{1}{\text{K}}$    

 

$\text{a)}$  

Będziemy korzystać z wzoru na rozszerzalność liniową ciał:

$\lambda =\frac{\Delta l}{l_0\cdot \Delta T}$  

gdzie:

$\Delta l$  - zmiana długości na skutek zmiany temperatury,

$\Delta T$  - zmiana temperatury,

$l_0$  - wymiar ciała przed zmianą temperatury.

Dla naszego przypadku możemy zapisać, że:

$\lambda ={\lambda }_{\text{pw}}$  

$\Delta l=l-l_{02}$   

$\Delta T=T_2-T_1$  

Wówczas otrzymujemy, że:

${\lambda }_{\text{pw}}=\frac{l-l_{02}}{l_{02}\left(T_2-T_1\right)}$  

Przekształcamy powyższy wzór w taki sposób, aby wyznaczyć wymiar rurki przez zmianą temperatury:

${\lambda }_{\text{pw}}=\frac{l-l_{02}}{l_{02}\left(T_2-T_1\right)}\mid \cdot \left(l_{02}\left(T_2-T_1\right)\right)$  

${\lambda }_{\text{pw}}{l}_{02}\left(T_2-T_1\right)=l-l_0\mid +l_{02}$  

${\lambda }_{\text{pw}}{l}_{02}\left(T_2-T_1\right)+l_{02}=l$  

$l_{02}\left({\lambda }_{\text{pw}}\left(T_2-T_1\right)+1\right)=l\mid :\left({\lambda }_{\text{pw}}\left(T_2-T_1\right)+1\right)$  

$l_{02}=\frac{l}{{\lambda }_{\text{pw}}\left(T_2-T_1\right)+1}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$l_{02}=\frac{0,25\text{m}}{1,0\cdot {10}^{-4}\frac{1}{\text{K}}\cdot \left(303\text{K}-273\text{K}\right)+1}=$  

$=\frac{0,25\text{m}}{0,0001\frac{1}{\text{K}}\cdot 30\text{K}+1}=$  

$=\frac{0,25\text{m}}{0,0030+1}=\frac{0,25\text{m}}{1,003}=$  

$=0,249252\text{m}=249,252\text{mm}\approx 249,3\text{mm}$     

 

$\text{b)}$  

Zacznijmy od obliczenia jaka jest długość stalowej taśmy w temperaturze 0^oC. Korzystamy z wzoru wyprowadzonego w podpunkcie a):

$l_{01}=\frac{l}{{\lambda }_{\text{s}}\left(T_2-T_1\right)+1}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$l_{01}=\frac{0,25\text{m}}{1,2\cdot {10}^{-5}\frac{1}{\text{K}}\cdot \left(303\text{K}-273\text{K}\right)+1}=$  

$=\frac{0,25\text{m}}{0,000012\frac{1}{\text{K}}\cdot 30\text{K}+1}=\frac{0,25\text{m}}{0,00036+1}=$  

$=\frac{0,25\text{m}}{1,00036}=0,24991\text{m}$   

Otrzymaliśmy długość stalowej taśmy w temperaturze 0^oC. Obliczmy teraz jaką długość taśmy w temperaturze 0^oC odpowiada długości taśmy w 30^oC. W tym celu obliczamy stosunek długości taśmy w 30^oC do długości w 0^oC:

$x=\frac{l}{l_{01}}$  

$x=\frac{0,25\text{m}}{0,24991\text{m}}=1,00036$   

Wówczas długość rurki z polichromu winylu w 30^oC ma długość:

$L=l\cdot x$  

$L=0,25m\cdot 1,000360=0,25009\text{m}=250,09\text{mm}\approx 250,1\text{mm}$