Wykres przedstawia zależność objętości...- Zadanie Zadanie 8.61: Z fizyką w przyszłość. Zbiór zadań. Zakres rozszerzony. Część 2. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$a)$

Korzystamy z wzoru na zmianę objętości ciała spowodowanej ogrzaniem go:

$Δ V = α V_{0} Δ t$

gdzie α jest współczynnikiem rozszerzalności objętościowej, V₀ jest objetością ciała przed ogrzaniem go o temperaturę Δt. Zmianę objetości możemy przedstawić jako:

$Δ V = V - V_{0}$

Wówczas otrzymujemy wzór z którego wyznaczamy współczynnik rozszerzalności objętościowej α:

$V - V_{0} = α V_{0} Δ t ∣ : (V_{0} Δ t)$

$\frac{V - V _{0}}{V _{0} Δ t} = α$

Zamieniamy stronami:

$α = \frac{V - V _{0}}{V _{0} Δ t}$

Wiemy, że zmianę temperatury możemy wyrazić jako różnicę temperatury końcowej i początkowej:

$α = \frac{V - V _{0}}{V _{0} ( t _{k} - t _{p} )}$

Obliczamy wartość współczynnika rozszerzalności objetościowej dla zakresu temperatury od 0^oC do 2^oC:

Z wykresu odczytujemy, że:

$V_{0} = 1, 00015 d m^{3}$

$V = 1, 00004 d m^{3}$

Wówczas otrzymujemy, że:

$α = \frac{1 , 00004 d m ^{3} - 1 , 00015 d m ^{3}}{1 , 00015 d m ^{3} ( 2 ^{\circ} C - 0 ^{\circ} C )} = \frac{- 0 , 00011 d m ^{3}}{1 , 00015 d m ^{3} \cdot 2 ^{\circ} C} = - \frac{0 , 00011 d m ^{3}}{2 , 0003 d m ^{3} \cdot ^{\circ} C} =$ $α = \frac{1 , 00004 d m ^{3} - 1 , 00015 d m ^{3}}{1 , 00015 d m ^{3} ( 2 ^{\circ} C - 0 ^{\circ} C )} = \frac{- 0 , 00011 d m ^{3}}{1 , 00015 d m ^{3} \cdot 2 ^{\circ} C} = - \frac{0 , 00011 d m ^{3}}{2 , 0003 d m ^{3} \cdot ^{\circ} C} =$

$= - 0, 000054992 \frac{1}{^{\circ} C} = - 5, 4992 \cdot 10^{- 5} \frac{1}{^{\circ} C} \approx - 5, 5 \cdot 10^{- 5} \frac{1}{^{\circ} C}$

Obliczamy wartość współczynnika rozszerzalności objetościowej dla zakresu temperatury od 8^oC do 10^oC:

Z wykresu odczytujemy, że:

$V_{0} = 1, 00015 d m^{3}$

$V = 1, 0003 d m^{3}$

Wówczas otrzymujemy, że:

$α = \frac{1 , 0003 d m ^{3} - 1 , 00015 d m ^{3}}{1 , 00015 d m ^{3} \cdot ( 10 ^{\circ} C - 8 ^{\circ} C )} = \frac{0 , 00015 d m ^{3}}{1 , 00015 d m ^{3} \cdot 2 ^{\circ} C} = \frac{0 , 00015 d m ^{3}}{2 , 0003 d m ^{3} \cdot ^{\circ} C} =$

$= 0, 000074989 \frac{1}{^{\circ} C} = 7, 4989 \cdot 10^{- 5} \frac{1}{^{\circ} C} \approx 7, 5 \cdot 10^{- 5} \frac{1}{^{\circ} C}$

$b)$

Korzystamy z wzoru na zmianę objętości ciała spowodowanej ogrzaniem go:

$Δ V = α V_{0} Δ t$

gdzie α jest współczynnikiem rozszerzalności objętościowej, V₀ jest objętością ciała przed ogrzaniem go o temperaturę Δt. Zmianę objętości możemy przedstawić jako:

$Δ V = V - V_{0}$

Z wzoru na gęstość substancjii wyznaczamy objetość ciała:

$ρ = \frac{m}{V} ∣ \cdot V$

$ρ \cdot V = m ∣ : ρ$

$V = \frac{m}{ρ}$

Podstawiamy wzór na objetość zależną od gęstości do wzoru na zmianę objętości ciała spowodowanej ogrzaniem go i wyznaczamy gęstość ciała zależną od temperatury:

$Δ V = α V_{0} Δ t$

$V - V_{0} = α V_{0} Δ t$

$\frac{m}{ρ} - V_{0} = α V_{0} Δ t ∣ + V_{0}$

$\frac{m}{ρ} = α V_{0} Δ t + V_{0}$

$\frac{m}{ρ} = \frac{α V _{0} Δ t + V _{0}}{1}$

Wymnażamy na krzyż:

$ρ (α V_{0} Δ t + V_{0}) = m ∣ : (α V_{0} Δ t + V_{0})$

$ρ = \frac{m}{α V _{0} Δ t + V _{0}}$

$ρ = \frac{m}{V _{0} ( α Δ t + 1 )}$

Wiemy, że zmianę temperatury możemy wyrazić jako różnicę temperatury końcowej i początkowej:

$ρ = \frac{m}{V _{0} ( α ( t _{p} - t _{k} ) + 1 )}$

Obliczamy gęstość w temperaturze 2^oC:

Korzystając z wykresu oraz obliczeń wykonanych w podpunkcie a) wiemy, że:

$m = 1 k g$

$V_{0} = 1, 00015 d m^{3} = 0, 00100015 m^{3}$

$α = - 5, 5 \cdot 10^{- 5} \frac{1}{^{\circ} C}$

$t_{p} = 0^{\circ} C$

$t_{k} = 2^{\circ} C$

Wówczas otrzymujemy, że:

$ρ = \frac{1 k g}{0 , 00100015 m ^{3} \cdot ( - 5 , 5 \cdot 10 ^{- 5} \frac{1}{^{\circ} C} \cdot ( 2 ^{\circ} C - 0 ^{\circ} C ) + 1 )} = \frac{1 k g}{0 , 00100015 m ^{3} \cdot ( - 0 , 000055 \frac{1}{^{\circ} C} \cdot 2 ^{\circ} C + 1 )} =$

$= \frac{1 k g}{0 , 00100015 m ^{3} \cdot ( - 0 , 000011 + 1 )} = \frac{1 k g}{0 , 00100015 m ^{3} \cdot 0 , 99989} \approx \frac{1 k g}{0 , 00100004 m ^{3}} \approx 999, 96 \frac{k g}{m ^{3}}$

UWAGA! Różnica pomiędzy otrzymanym wynikiem, a wynikiem podanym w odpowiedziach wynika z przyjętych przybliżeń.

Obliczamy gęstość w temperaturze 10^oC:

Korzystając z wykresu oraz obliczeń wykonanych w podpunkcie a) wiemy, że:

$m = 1 k g$

$V_{0} = 1, 00015 d m^{3} = 0, 00100015 m^{3}$

$α = 7, 5 \cdot 10^{- 5} \frac{1}{^{\circ} C}$

$t_{p} = 8^{\circ} C$

$t_{k} = 10^{\circ} C$

Wówczas otrzymujemy, że:

$ρ = \frac{1 k g}{0 , 00100015 m ^{3} \cdot ( 7 , 5 \cdot 10 ^{- 5} \frac{1}{^{\circ} C} \cdot ( 10 ^{\circ} C - 8 ^{\circ} C ) + 1 )} = \frac{1 k g}{0 , 00100015 m ^{3} \cdot ( 0 , 000075 \frac{1}{^{\circ} C} \cdot 2 ^{\circ} C + 1 )} =$

$= \frac{1 k g}{0 , 00100015 m ^{3} \cdot ( 0 , 00015 + 1 )} = \frac{1 k g}{0 , 00100015 m ^{3} \cdot 1 , 00015} \approx \frac{1 k g}{0 , 0010003 m ^{3}} \approx 999, 70 \frac{k g}{m ^{3}}$

Ewelina Wysopal

Nauczycielka fizyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.