II gimnazjum

Matematyka wokół nas 2

a) 592−112472−232​=(59−11)⋅(59+11)(47−23)⋅(47+23)​=48⋅7024⋅70​=4824​=21​

Rozwiązanie 1

a) 9x(x+2)−(3x−1)(3x+1)=9x2+18x−((3x)2−12)=    =9x2+18x−(9x2−1)=9x2​+18x−9x2​+1=18x+1

a) 32−2⋅4=9−8=1

W każdym przykładzie musimy odgadnąć, ile wynosi a.    152=(10+5)2=(10⋅1​​+5)2,   czyli   a=1 Korzystając ze wzoru obliczamy wartość kwadratu liczby 15 (zapisane obliczenia to te, które można wykonać w pamięci, przedstawiony został sposób rozumowania) 152=100⋅[1⋅(1+1)]+25=100⋅1⋅2+25=100⋅2+25=200+25=225     252=(20+5)2=(10⋅2​​+5)2,   czyli   a=2 252=100⋅[2⋅(2+1)]+25=100⋅2⋅3+25=100⋅6+25=625

Oznaczmy liczbę naturalną jako n. Wtedy kolejna liczba naturalna jest o 1 większa, czyli jest równa n+1.

Zapiszmy, o ile liczba a jest mniejsza od 10 (od większej liczby, czyli 10, odejmujemy mniejszą, czyli a):  10−a     Zapiszmy, o ile liczba b jest większa od 10 (od większej liczby, czyli b, odejmujemy mniejszą, czyli 10): b−10     Wiemy, że liczba a jest o tyle mniejsza od 10, o ile liczba b jest większa od 10, czyli:  10−a=b−10     Możemy przekształcić to równanie tak, aby dostać zależność między a i b:  10−a=b−10    ∣+10

(2a+1)2−1=(2a2)+2⋅2a⋅1+12−1=4a2+4a+1−1=4a2+4a=4(a2+a)=4⋅a⋅(a+1)

a) (x+3y)2=x2+2⋅x⋅3y+(3y)2=x2+6xy+9y2 Aby lewa strona roˊwnała się prawej, trzeba odjącˊ od tego kwadratu 1xy=xy. x2+6xy+9y2−xy=nbspx2+5xy+9y2

2x2y2x2y2200​<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='2.48em' viewBox='0 0 400000 2592' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M424,2478
c-1.3,-0.7,-38.5,-172,-111.5,-514c-73,-342,-109.8,-513.3,-110.5,-514
c0,-2,-10.7,14.3,-32,49c-4.7,7.3,-9.8,15.7,-15.5,25c-5.7,9.3,-9.8,16,-12.5,20
s-5,7,-5,7c-4,-3.3,-8.3,-7.7,-13,-13s-13,-13,-13,-13s76,-122,76,-122s77,-121,77,-121
s209,968,209,968c0,-2,84.7,-361.7,254,-1079c169.3,-717.3,254.7,-1077.7,256,-1081
l0 -0c4,-6.7,10,-10,18,-10 H400000
v40H1014.6
s-87.3,378.7,-272.6,1166c-185.3,787.3,-279.3,1182.3,-282,1185
c-2,6,-10,9,-24,9
c-8,0,-12,-0.7,-12,-2z M1001 80
h400000v40h-400000z'/></svg>​+(5xxy​<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='2.48em' viewBox='0 0 400000 2592' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M424,2478
c-1.3,-0.7,-38.5,-172,-111.5,-514c-73,-342,-109.8,-513.3,-110.5,-514
c0,-2,-10.7,14.3,-32,49c-4.7,7.3,-9.8,15.7,-15.5,25c-5.7,9.3,-9.8,16,-12.5,20
s-5,7,-5,7c-4,-3.3,-8.3,-7.7,-13,-13s-13,-13,-13,-13s76,-122,76,-122s77,-121,77,-121
s209,968,209,968c0,-2,84.7,-361.7,254,-1079c169.3,-717.3,254.7,-1077.7,256,-1081
l0 -0c4,-6.7,10,-10,18,-10 H400000
v40H1014.6
s-87.3,378.7,-272.6,1166c-185.3,787.3,-279.3,1182.3,-282,1185
c-2,6,-10,9,-24,9
c-8,0,-12,-0.7,-12,-2z M1001 80
h400000v40h-400000z'/></svg>​−yy8x​<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='2.48em' viewBox='0 0 400000 2592' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M424,2478
c-1.3,-0.7,-38.5,-172,-111.5,-514c-73,-342,-109.8,-513.3,-110.5,-514
c0,-2,-10.7,14.3,-32,49c-4.7,7.3,-9.8,15.7,-15.5,25c-5.7,9.3,-9.8,16,-12.5,20
s-5,7,-5,7c-4,-3.3,-8.3,-7.7,-13,-13s-13,-13,-13,-13s76,-122,76,-122s77,-121,77,-121
s209,968,209,968c0,-2,84.7,-361.7,254,-1079c169.3,-717.3,254.7,-1077.7,256,-1081
l0 -0c4,-6.7,10,-10,18,-10 H400000
v40H1014.6
s-87.3,378.7,-272.6,1166c-185.3,787.3,-279.3,1182.3,-282,1185
c-2,6,-10,9,-24,9
c-8,0,-12,-0.7,-12,-2z M1001 80
h400000v40h-400000z'/></svg>​)2=

26