II gimnazjum

Matematyka wokół nas 2

Matematyka

Liczy się matematyka 2

Matematyka 2001

Matematyka 2001. Zeszyt ćwiczeń cz. 1 

Matematyka 2001. Zeszyt ćwiczeń cz. 2

Matematyka 2. Ćwiczenia podstawowe

Matematyka 2. Zeszyt zadań

Matematyka na czasie! 2

Matematyka wokół nas 2. Zeszyt ćwiczeń cz. 1

Matematyka wokół nas 2. Zeszyt ćwiczeń cz. 2

Matematyka z plusem 2

Policzmy to razem 2

a) 9x(x+2)−(3x−1)(3x+1)=9x2+18x−((3x)2−12)=    =9x2+18x−(9x2−1)=9x2​+18x−9x2​+1=18x+1

a) 32−2⋅4=9−8=1

W każdym przykładzie musimy odgadnąć, ile wynosi a.&nbsp; &nbsp; 152=(10+5)2=(10⋅1​​+5)2,   czyli   a=1 Korzystając ze wzoru obliczamy wartość kwadratu liczby 15 (zapisane obliczenia to te, które można wykonać w pamięci, przedstawiony został sposób rozumowania) 152=100⋅[1⋅(1+1)]+25=100⋅1⋅2+25=100⋅2+25=200+25=225 &nbsp; &nbsp; 252=(20+5)2=(10⋅2​​+5)2,   czyli   a=2 252=100⋅[2⋅(2+1)]+25=100⋅2⋅3+25=100⋅6+25=625

Oznaczmy liczbę naturalną jako n. Wtedy kolejna liczba naturalna jest o 1 większa, czyli jest równa n+1.&nbsp;

(2a+1)2−1=(2a2)+2⋅2a⋅1+12−1=4a2+4a+1−1=4a2+4a=4(a2+a)=4⋅a⋅(a+1) &nbsp; &nbsp;

a) (x+3y)2=x2+2⋅x⋅3y+(3y)2=x2+6xy+9y2 Aby lewa strona roˊwnała się prawej, trzeba odjącˊ od tego kwadratu 1xy=xy. x2+6xy+9y2−xy=nbspx2+5xy+9y2

2x2y2x2y2200​<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='2.48em' viewBox='0 0 400000 2592' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M424,2478
c-1.3,-0.7,-38.5,-172,-111.5,-514c-73,-342,-109.8,-513.3,-110.5,-514
c0,-2,-10.7,14.3,-32,49c-4.7,7.3,-9.8,15.7,-15.5,25c-5.7,9.3,-9.8,16,-12.5,20
s-5,7,-5,7c-4,-3.3,-8.3,-7.7,-13,-13s-13,-13,-13,-13s76,-122,76,-122s77,-121,77,-121
s209,968,209,968c0,-2,84.7,-361.7,254,-1079c169.3,-717.3,254.7,-1077.7,256,-1081
l0 -0c4,-6.7,10,-10,18,-10 H400000
v40H1014.6
s-87.3,378.7,-272.6,1166c-185.3,787.3,-279.3,1182.3,-282,1185
c-2,6,-10,9,-24,9
c-8,0,-12,-0.7,-12,-2z M1001 80
h400000v40h-400000z'/></svg>​+(5xxy​<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='2.48em' viewBox='0 0 400000 2592' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M424,2478
c-1.3,-0.7,-38.5,-172,-111.5,-514c-73,-342,-109.8,-513.3,-110.5,-514
c0,-2,-10.7,14.3,-32,49c-4.7,7.3,-9.8,15.7,-15.5,25c-5.7,9.3,-9.8,16,-12.5,20
s-5,7,-5,7c-4,-3.3,-8.3,-7.7,-13,-13s-13,-13,-13,-13s76,-122,76,-122s77,-121,77,-121
s209,968,209,968c0,-2,84.7,-361.7,254,-1079c169.3,-717.3,254.7,-1077.7,256,-1081
l0 -0c4,-6.7,10,-10,18,-10 H400000
v40H1014.6
s-87.3,378.7,-272.6,1166c-185.3,787.3,-279.3,1182.3,-282,1185
c-2,6,-10,9,-24,9
c-8,0,-12,-0.7,-12,-2z M1001 80
h400000v40h-400000z'/></svg>​−yy8x​<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='2.48em' viewBox='0 0 400000 2592' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M424,2478
c-1.3,-0.7,-38.5,-172,-111.5,-514c-73,-342,-109.8,-513.3,-110.5,-514
c0,-2,-10.7,14.3,-32,49c-4.7,7.3,-9.8,15.7,-15.5,25c-5.7,9.3,-9.8,16,-12.5,20
s-5,7,-5,7c-4,-3.3,-8.3,-7.7,-13,-13s-13,-13,-13,-13s76,-122,76,-122s77,-121,77,-121
s209,968,209,968c0,-2,84.7,-361.7,254,-1079c169.3,-717.3,254.7,-1077.7,256,-1081
l0 -0c4,-6.7,10,-10,18,-10 H400000
v40H1014.6
s-87.3,378.7,-272.6,1166c-185.3,787.3,-279.3,1182.3,-282,1185
c-2,6,-10,9,-24,9
c-8,0,-12,-0.7,-12,-2z M1001 80
h400000v40h-400000z'/></svg>​)2=

W każdym przykładzie musimy odgadnąć, ile wynosi a.&nbsp; &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f915ff3a55b253958b411584a88b1faa1e14e5fdd1c8a42ad0c32bf5c3a83251_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f915ff3a55b253958b411584a88b1faa1e14e5fdd1c8a42ad0c32bf5c3a83251_big.svg" type="image/svg+xml"></object> Korzystając ze wzoru obliczamy wartość kwadratu liczby 15 (zapisane obliczenia to te, które można wykonać w pamięci, przedstawiony został sposób rozumowania) <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/34768ff5fab0aa5801b6c3887aba5054e77305595e0e4d8cd1fbb3990213e62d_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/34768ff5fab0aa5801b6c3887aba5054e77305595e0e4d8cd1fbb3990213e62d_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4780ad2f21f70a2717d5aab0769015033bb3f5541c1a58011950bdf102ed0c73_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4780ad2f21f70a2717d5aab0769015033bb3f5541c1a58011950bdf102ed0c73_big.svg" type="image/svg+xml"></object> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/64da0d34d914db5ac6a8a083606eabbfddd2500cec9647261dcb0f55498c898a_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/64da0d34d914db5ac6a8a083606eabbfddd2500cec9647261dcb0f55498c898a_big.svg" type="image/svg+xml"></object>

Zapiszmy, o ile liczba a jest mniejsza od 10 (od większej liczby, czyli 10, odejmujemy mniejszą, czyli a):&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/e98db8a38841c93dcb485e288886f139e6aa60a73b6ce2288d80498cc099048f_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/e98db8a38841c93dcb485e288886f139e6aa60a73b6ce2288d80498cc099048f_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Zapiszmy, o ile liczba b jest większa od 10 (od większej liczby, czyli b, odejmujemy mniejszą, czyli 10): <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/9e32d5bd30c0b10941dcae1e498c2d0cbe1fe65c2a6f882942a750b17163b008_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/9e32d5bd30c0b10941dcae1e498c2d0cbe1fe65c2a6f882942a750b17163b008_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Wiemy, że liczba a jest o tyle mniejsza od 10, o ile liczba b jest większa od 10, czyli:&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f0d682b6efc5f56d9388e16032fa36fc7f5e0298f2b1b2661d8b967aee506aba_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f0d682b6efc5f56d9388e16032fa36fc7f5e0298f2b1b2661d8b967aee506aba_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Możemy przekształcić to równanie tak, aby dostać zależność między a i b:&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6479e521a4ab961342e0ed1d98a433e94341933cd31a2570622377de35a314be_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6479e521a4ab961342e0ed1d98a433e94341933cd31a2570622377de35a314be_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/671d8ba2b00f8f8e643c7c034493a9273de6fb95f4ed353890100fdd114eb7a1_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/671d8ba2b00f8f8e643c7c034493a9273de6fb95f4ed353890100fdd114eb7a1_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/844529980597665a910d72233099ebd6a6af1e3a025aad6a7e78316386afccfd_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/844529980597665a910d72233099ebd6a6af1e3a025aad6a7e78316386afccfd_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Wiemy, że suma tych liczb jest równa 20.&nbsp; Zatem kwadrat sumy tych liczb jest równy 400.&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/48c7e6d4a51674295c08fd0bfbf17cf1efb0b77b10fa87aa71a7c230b0b97cc6_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/48c7e6d4a51674295c08fd0bfbf17cf1efb0b77b10fa87aa71a7c230b0b97cc6_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; Kwadrat sumy możemy także rozpisać ze wzoru skróconego mnożenia i skorzystać z informacji, że suma kwadratów liczb jest równa 208:&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/106b2b3752cb871b44e393d7a41a6bed5ceba52e02a046fa6f84d1edb5a55756_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/106b2b3752cb871b44e393d7a41a6bed5ceba52e02a046fa6f84d1edb5a55756_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; Zatem porównując informacje oznaczone gwiazdką i dwoma gwiazdkami możemy zapisać:&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/380d39e32c3445f7b122dfd7a1f2422900f8468ed32fd59881cd7a35b0c0b2da_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/380d39e32c3445f7b122dfd7a1f2422900f8468ed32fd59881cd7a35b0c0b2da_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c9fc37dcad9deafdee48fa3638cdb85cef733029cd0b42e0b2b44232fa700fef_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c9fc37dcad9deafdee48fa3638cdb85cef733029cd0b42e0b2b44232fa700fef_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3d27860a61fc401a8bf84948066f8ef6727838e88c378e461817127995ec60d0_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3d27860a61fc401a8bf84948066f8ef6727838e88c378e461817127995ec60d0_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Szukamy takich liczb a oraz b, że ich suma jest równa 20, a iloczyn jest równy 96. Rozpiszmy liczbę 96 na różne iloczyny, potem wybierzemy ten, w którym suma czyników jest równa 20:&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/49512263681a6f80b148927b2ca440d2cb6741c51dd41dbbccec6cc63f05b14b_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/49512263681a6f80b148927b2ca440d2cb6741c51dd41dbbccec6cc63f05b14b_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2a3d09be727d5d1fad37e943deb43371ca3e413ba1a97e4b81357cc5f6b5ebe8_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2a3d09be727d5d1fad37e943deb43371ca3e413ba1a97e4b81357cc5f6b5ebe8_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/da224f3b71b3a1cc5df835174d8df7b627c68dcef14419d7f086c04004081b12_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/da224f3b71b3a1cc5df835174d8df7b627c68dcef14419d7f086c04004081b12_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a6e391d04a1c4ebc084593168a1c3c706753fed7aae19fe2f11983e10238e32d_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a6e391d04a1c4ebc084593168a1c3c706753fed7aae19fe2f11983e10238e32d_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ee56b4db946ea9fade0700e7953976de9a462c531efe251dd6aded60948c289c_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ee56b4db946ea9fade0700e7953976de9a462c531efe251dd6aded60948c289c_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4ef45a007021148b22b1db1284ce77319f0d26aeb940caea0ea8dd4a94d24782_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4ef45a007021148b22b1db1284ce77319f0d26aeb940caea0ea8dd4a94d24782_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Parą spełniającą te warunki jest para liczb 8 i 12. Zatem mamy rozwiązanie: a=8 i b=12 (liczba a była mniejsza od 10, a liczba b była większa od 10).&nbsp;

Komentarze