Matematyka

Autorzy:M. Braun, J. Lech

Wydawnictwo:GWO

Rok wydania:2008

Oblicz długości przekątnych a) sześcianu o krawędzi 1m 4.55 gwiazdek na podstawie 11 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Oblicz długości przekątnych a) sześcianu o krawędzi 1m

29
 Zadanie
30
 Zadanie
31
 Zadanie
32
 Zadanie

33
 Zadanie

34
 Zadanie
UWAGA! Oglądasz starą wersję książki. *Kilknij tutaj aby zobaczyć nową.*

a) Mamy sześciokąt o krawędzi 1 m. Przekątna sześcianu to będzie długość odcinka BC.

Widzimy, że trójkąt ABC jest prostokątny o przyprostokątnych długosci 1m (odcinek AC) oraz długości przekątnej kwadratu o boku 1 m (odcinek AB).

Policzmy najpierw długość odcinka AB. Jest on przekątną kwadratu o boku 1 m, który jest w podstawie graniastosłupa.Zatem z tw. Pitagorasa mamy

`|AB|=sqrt(2)`

Wiemy, że `|AC|=1` , zatem z tw. Pitagorasa łatwo obliczyć przekątną sześcianu CB.

`|CB|^2=|AC|^2+|AB|^2`

`|CB|^2=1^2+sqrt(2)^2=1+2=3`

`|CB|=sqrt(3)~~1,7m`

b) Mamy prostopadłoscianu o wymiarach 1m x 5m x 12 m.

Przekątna prostopadłoscianu to będzie długość odcinka AC.

Widzimy, że trójkąt ABC jest prostokątny o przyprostokątnych długosci 12 m (odcinek BC) oraz długości przekątnej prostokąta o wymiarach 1m x 5m(odcinek AB).

Policzmy najpierw długość odcinka AB. Jest on przekątną prostokąta o wymiarach 1m x 5m, który jest w podstawie graniastosłupa. Zatem z tw. Pitagorasa mamy

`|AB|^2=1^2+5^2=1+25=26`

`|AB|=sqrt(26)`

Wiemy, że `|BC|=12` , zatem z tw. Pitagorasa łatwo obliczyć przekątną sześcianu AC.

`|AC|^2=|AB|^2+|BC|^2`

`|AC|^2=sqrt(26)^2+12^2=26+144=170`

`|AC|=sqrt(170)m~~13m`

 c)

Mamy graniastosłup prawidłowy sześciokątny o wszystkich krawędziach długości 1m.

Mamy dwie przekątne takiego graniastosłupa - będą to odcinki AE oraz AC.

Odcinek AE jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego ADE. Wiemy, że `|DE|=1`  oraz że odcinke AD jest krótszą przekątną sześciokąta foremnego o boku `a` . Zatem wiemy, iż `|AD|=asqrt(3). ` W naszym przypadku `a=1` , czyli `|AD|=sqrt(3).`

Z tw. Pitagorasa liczmy długość przekątnej AE graniastosłupa

`|AE|^2=|AD|^2+|DE|^2`

`|AE|^2=sqrt(3)^2+1^2=3+1=4`

`|AE|=2m`

Odcinek AC jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego ABC. Wiemy, że `|BC|=1`  oraz że odcinke AB jest dłuższą przekątną sześciokąta foremnego o boku `a` . Zatem wiemy, iż `|AB|=2a ` W naszym przypadku `a=1` , czyli `|AB|=2.`

Z tw. Pitagorasa liczmy długość przekątnej AC graniastosłupa

`|AC|^2=|AB|^2+|BC|^2`

`|AC|^2=2^2+1^2=4+1=5`

`|AC|=sqrt(5)m~~2,2m`

 

Odpowiedź:

a) `sqrt(3)m,`

b)`sqrt(170)m`

c) `2m`  i `sqrt(5)m`