II gimnazjum

Matematyka z plusem 2

Rysujemy dwie proste równoległe l i k. Wystarczy skonstruować prostą prostopadłą do obu z nich. Rysujemy dowolnie punkt A.
Z punktu A kreślimy łuki o tym samym promieniu, przecinające prostą w dwóch punktach. Nazwijmy te punkty przecięcia B i C.
Następnie z punktów B i C kreślimy przecinające się łuki o jednakowych promieniach. Punkt przecięcia tych łuków nazwijmy D.

Rozwiązanie 1

W zadaniu korzystamy z tego, iż promień okręgu poprowadzony do punktu styczności jest pod kątem prostym do stycznej. a) Zacieniowana figura jest trójkątem prostokątnym. Aby policzyć jego pole, należy najpierw obliczyć długość drugiej przyprostokątnej. W zadaniu jest błąd. Długość przeciwprostokątnej powinna wynosić 10. x2+62=102 x2=100−36=64

Dwie pary prostych równoległych, stycznych do okręgu ograniczają romb. Należy rozrysować kilka przypadków. W każdym z nich wykreślimy trójkąt prostokątny wyznaczony przez połowy przekątnych rombu oraz jeden z jego boków. W każdym z tych trójkątów wysokość opuszczona na bok będący bokiem rombu jest z góry ustalona i ma długość 5 cm. Jeśli rozrysujemy kilka różnych przypadków, zauważymy, że pole tak wyznaczonego trójkąta zależy tylko i wyłącznie od długości boku rombu (bo wysokość trójkąta jest stała i wynosi 5cm). Pole tak wyznaczonego trójkąta ponadto stanowi 1/4 pola całego rombu, zatem im mniejsze pole trójkąta, tym mniejsze pole rombu. Z tego wynika, iż im krótsza podstawa trójkąta (będąca bokiem rombu), tym pole trójkąta jest mniejsze. A podstawa jest najkrótsza, gdy romb jest kwadratem. Zatem

Korzystamy z faktu, iż środek okręgu wpisanego w okrąg leży w punkcie przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta oraz z tego, że kąt między promieniem (poprowadzonym do punktu styczności) a bokiem trójkąta jest prosty.

Korzystamy z tego, iż promień okręgu wpisanego w koło poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do boku trójkąta. a) Policzmy kąt przy wierzchołku A α=360−90−90−140=40 Policzmy kąt przy wierzchołku B Najpierw wyznaczymy kąt, którego wierzchołek jest środkiem okręgu. Jego miara to 360-110-140=110 stopni. β=360−110−90−90=70

a)
Rysujemy odcinki o długości 6, 5 i 4 cm.
Obieramy półprostą o początku A. Na półprostej od punktu A odkładamy odcinek AB długości 6 cm. Mamy wierzchołek B. Z punktu A zakreślamy okrąg o promieniu 5 cm i z punktu B okrąg o promieniu 4 cm. W przecięciu tych okręgów mamy wierzchołek C. Punkt C łączymy z punktami A i B. Mamy trójkąt ABC.
Teraz wystarczy wykreślić dwusieczne dwóch kątów trójkąta. 
Konstrukcja dwusiecznej:
Z wierzchołka A  kąta dowolnym promieniem zakreślić łuk, który przetnie ramiona kąta w punktach D, E.
Z punktów D i E większą rozwartością cyrkla zakreślić łuki, które przetną się w punkcie F.
Półprosta AF jest dwusieczną.
Powtórzyć konstrukcję dwusiecznej kąta przy wierzchołku B.Punkt przecięcia dwusiecznych jest środekim okręgu wpisanego w trójkąt. Nazwijmy go O. Trzeba jeszcze znaleźć promień okręgu.
Promień okręgu wpisanego w trójkąt leży na prostej prostopadłej do boku trójkąta, przechodzącej przez środek okręgu. Wystarczy zatem wykreślić prostą prostopadłą do odcinka AB przechodzącą przez punkt O.

Rysujemy okrąg o środku w pukcie O. Wzynaczamy promień okręgo OA. Następnie przy punkcie O odkładamy obustronnie kąt o mierze 120 stopni. W ten sposób dzielimy okrąg na trzy równe części. Punkty przecięcia okręgu z ramionami kątów 120 stopni nazwiemy B i C.
Aby na okręgu opisać trójkąt równoboczny wystarczy skonsruować styczne do okręgu w punktach A, B i C. Punkty przecięcia narysowanych stycznych będą wierzchołkami trójkąta równobocznego opisanego na okręgu o promieniu OA.
Konstrukcja stycznej do okręgu w punkcie A:

16