Matematyka

Matematyka z plusem 2 (Zbiór zadań, GWO)

Oblicz pola i obwody trójkątów przedstawionych na rysunkach. 4.56 gwiazdek na podstawie 18 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Oblicz pola i obwody trójkątów przedstawionych na rysunkach.

35
 Zadanie
36
 Zadanie
37
 Zadanie

38
 Zadanie

39
 Zadanie
40
 Zadanie
UWAGA! Oglądasz stare wydanie książki. Kliknij tutaj, aby zobaczyć najnowsze.

Na początku przypomnijmy sobie, jakie długości boków mają trójkąty prostokątne o kątach 90°, 60° i 30° oraz 90°, 45°, 45°.

 

 

`a)` 

 

`|AC|=5=2x` 

`|CD|=x=5:2=2,5` 

`|AD|=xsqrt3=2,5sqrt3` 

 

`|CD|=2,5=b=|DB|` 

`|CB|=bsqrt2=2,5sqrt2` 

 

`O_(DeltaABC)=|AB|+|BC|+|CA|=` 

`=2,5sqrt3+2,5+2,5sqrt2+5=` 

`=2,5sqrt3+2,5sqrt2+7,5=` 

`=2,5(sqrt3+sqrt2+3)` 

 

`P_(DeltaABC)=|AB|*|DC|*1/2=` 

`=(2,5sqrt3+2,5)*2,5*1/2=` 

`=(6,25sqrt3+6,25)*1/2=` 

`=3,125sqrt3+3,125=` 

`=3,125(sqrt3+1)`   

 

 

 

`b)` 

 

`|BC|=4=2x` 

`|DB|=x=4:2=2` 

`|DC|=xsqrt3=2sqrt3` 

 

`|CD|=2sqrt3=b=|AD|` 

`|AC|=bsqrt2=2sqrt3*sqrt2=2sqrt6` 

 

`O_(DeltaABC)=2sqrt3+2+4+2sqrt6=` 

`=2sqrt3+2sqrt6+6=` 

`=2(sqrt3+sqrt6+3)` 

 

`P_(DeltaABC)=(2sqrt3+2)*2sqrt3*1/2=` 

`=(2sqrt3+2)*sqrt3=` 

`=2*3+2sqrt3=6+2sqrt3=` 

`=2(3+sqrt3)` 

 

 

`c)` 

 

`|BC|=6=bsqrt2` 

`|DB|=|DC|=b=6:sqrt2=6/sqrt2=(6sqrt2)/2=3sqrt2`   

 

`|DC|=3sqrt2=x` 

`|AD|=xsqrt3=3sqrt2*sqrt3=3sqrt6` 

`|AC|=2x=2*3sqrt2=6sqrt2` 

 

`O_(DeltaABC)=3sqrt6+3sqrt2+6+6sqrt2=` 

`=3sqrt6+9sqrt2+6=` `3(sqrt6+3sqrt2+2)` 

 

`P_(DeltaABC)=(3sqrt6+3sqrt2)*3sqrt2*1/2=` 

`=(9sqrt12+9*2)*1/2=`  

`=(9*2*sqrt3+9*2)*1/2=` 

`=9sqrt3+9=9(sqrt3+1)` 

 

 

 `d)` 

 

 

 

 

Z zadania wiemy, że odcinek AB ma długość 6. 

`y+ysqrt3=6` 

`y(1+sqrt3)=6` 

`y=6/(1+sqrt3)=6/(sqrt3+1)=(6(sqrt3-1))/((sqrt3+1)(sqrt3-1))=` 

`=(6(sqrt3-1))/(3-1)=(6(sqrt3-1))/2=3(sqrt3-1)`   

 

`|AD|=|DC|=3(sqrt3-1)=3sqrt3-3` 

`|AC|=(3sqrt3-3)*sqrt2=` `3sqrt6-3sqrt2` 

 

`|DB|=(3sqrt3-3)*sqrt3=9-3sqrt3` 

`|BC|=2*(3sqrt3-3)=6sqrt3-6` 

 

`O_(DeltaABC)=ul(3sqrt3)-3+9-ul(3sqrt3)+ul(6sqrt3)-6+3sqrt6-3sqrt2=`  

`=6sqrt3+3sqrt6-3sqrt2=` `3(sqrt6+2sqrt3-sqrt2)` 

 

`P_(DeltaABC)=(3sqrt3-3+9-3sqrt3)*(3sqrt3-3)*1/2=` 

`=6*(3sqrt3-3)*1/2=` `3*(3sqrt3-3)=9*(sqrt3-1)`   

 

` ` 

` ` 

` `

 

 

 

DYSKUSJA
user profile image
Bogusława

15 października 2017
Dzieki za pomoc :)
Informacje
Matematyka z plusem 2
Autorzy: M. Braun, J. Lech
Wydawnictwo: GWO
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Dzielenie z resztą

Na początek zapoznajmy się z twierdzeniem o dzieleniu z resztą, które brzmi następująco:
"Dla pary liczb całkowitych a i b (gdzie b ≠ 0) istnieją liczby całkowite q i r, dla których spełnione jest równanie a = qb + r, gdzie 0 ≤ r < │b│. Liczby q i r nazywa się odpowiednio ilorazem i resztą z dzielenia a przez b."

Innymi słowy, dzielenie z resztą to takie dzielenie, w którym iloraz nie jest liczbą całkowitą.

Przykład obliczania reszty z dzielenia:

  1. Podzielmy liczbę 23 przez 3.
  2. Wynikiem dzielenia nie jest liczba całkowita (nie dzieli się równo). Maksymalna liczba trójek, które zmieszczą się w 23 to 7.
  3. $$7 • 3 = 21$$
  4. Różnica między liczbami 23 i 21 wynosi 2, zatem resztą z tego dzielenia jest liczba 2.
  5. Poprawny zapis działania: $$21÷3=7$$ $$r.2$$

Przykłady:

  • $$5÷2=2$$ r. 1
  • $$27÷9=3$$ r. 0
  • $$(-8)÷(-3)=3 r. 1$$
  • $$(-15)÷4=-3$$ .r -3 lub $$(-15)÷4=-4$$ r. 1

  Zapamiętaj

Reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika.

Dodawanie ułamków zwykłych
  1. Dodawanie ułamków o jednakowych mianownikach – dodajemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

    Przykład:

    • $$4/7+6/7={10}/7=1 3/7$$

      Uwaga

    Gdy w wyniku dodania ułamków otrzymamy ułamek niewłaściwy, warto wyłączyć z niego całości (jak w przykładzie powyższym).

    Często ułamek otrzymany w wyniku można skrócić, czyli podzielić licznik i mianownik przez tę samą liczbę (jak w przykładzie poniżej).

  2. Dodawanie ułamków o różnych mianownikach – najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika (czyli tak je rozszerzamy lub skracamy, aby otrzymać w mianowniku taką samą liczbę), następnie wykonujemy dodawanie.

    Przykład:

    • $$3/10+ 1/5=3/{10}+ {1•2}/{5•2}=3/{10}+ 2/{10}=5/{10}={5÷5}/{10÷5}=1/2$$
       
  3. Dodawanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają takie same mianowniki.

    • I sposób – zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, a następnie wykonujemy dodawanie ułamków o jednakowych mianownikach.

      $$2 1/3+ 1 1/3= {2•3+1}/3+{1•3+1}/3=7/3+4/3={11}/3=3 2/3$$
       
    • II sposób – oddzielnie dodajemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które mają identyczne mianowniki.

      Przykład:

      $$2 1/3+ 1 1/3= 2 + 1/3+ 1 + 1/3= 3 + 2/3= 3 2/3$$
       
  4. Dodawanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają różne mianowniki.

    • I sposób – zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, następnie sprowadzamy je do wspólnego mianowniku, a potem wykonujemy dodawanie.

      $$2 1/3+ 1 1/2= {2•3+1}/3+{1•2+1}/2=7/3+3/2={7•2}/{3•2}+{3•3}/{2•3}={14}/6 + 9/6={23}/6=3 5/6$$
       
    • II sposób – oddzielnie dodajemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które musimy najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika.

      Przykład:

      $$2 1/3+ 1 1/2= 2 + 1/3+ 1 + 1/2= 3 + 1/3+ 1/2= 3 + {1•2}/{3•2}+ {1•3}/{2•3}= 3 + 2/6+ 3/6= 3 + 5/6= 3 5/6$$
 
Zobacz także
Udostępnij zadanie