II gimnazjum

Matematyka z plusem 2

Matematyka

Liczy się matematyka 2

Matematyka 2001

Matematyka 2001. Zeszyt ćwiczeń cz. 1 

Matematyka 2001. Zeszyt ćwiczeń cz. 2

Matematyka 2. Ćwiczenia podstawowe

Matematyka 2. Zeszyt zadań

Matematyka na czasie! 2

Matematyka wokół nas 2

Matematyka wokół nas 2. Zeszyt ćwiczeń cz. 1

Matematyka wokół nas 2. Zeszyt ćwiczeń cz. 2

Matematyka z plusem 2 

Policzmy to razem 2

W zadaniu tym korzystamy z własności trójkąta prostokątnego równoramiennego oraz trójkąta prostokątnego o kątach ostrych 30 i 60 stopni (chodzi o zależności między długościami boków).
a)
 Przyjmując za <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/412ee749-7996-4699-8f01-6590b4e46d33_small.svg" type="image/svg+xml"></object> , mamy <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/77e914a2-0364-44e4-8200-74e32b59ba58_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Rozwiązanie zadania bardzo ułatwi nam rysunek pomocniczy.

a) Rozważmy trójkąt ABC.
Policzmy najpierw odcinek DB. Jego długość oznaczmy przez <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/6bffc0e5-78f3-4bbb-b2bb-8ebfb5bf010c_small.svg" type="image/svg+xml"></object> . Z właśności trójkąta ADB (trójkąt prostokątny o kątach ostrych 30 i 60 stopni) wiemy, że <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/cb310bc9-bc15-4d1f-b06d-b8867b5170da_small.svg" type="image/svg+xml"></object> , zatem <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/226a40ee-c579-4950-8fcd-b76b70803f05_small.svg" type="image/svg+xml"></object> .
Trójkąt ACB jest trójkątem prostokątnym równoramiennym (kąty 90,45,45 stopni), zatem |AB|=|CD|, czyli
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/054429d9-9841-4899-a814-770c8f91a85b_small.svg" type="image/svg+xml"></object>
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/57844261-0b3d-4b8e-b8d1-e82558b0f618_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Na początku przypomnijmy sobie, jakie długości boków mają trójkąty prostokątne o kątach 90°, 60° i 30° oraz 90°, 45°, 45°. 
 <img src="../../../uploads/exercise_photo/image/38066/trojkat2.jpg"><img src="../../../uploads/exercise_photo/image/38065/trojkat11.jpg" width="148" height="238">
 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/b6aa51f7-314a-42f6-bf37-a77b75623e35_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
 <img src="../../../uploads/exercise_photo/image/38067/38as58.jpg">
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/fd4bc429-f25f-4562-93dd-fb86a9720ff9_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/18589d54-09ab-4589-81f1-971ed727a7df_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/b3435b9c-9ec8-4e7f-b529-41e7f19da830_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/23b152c9-22f3-4fde-99f6-365085bf6e3c_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/f7cbc659-971b-4382-9694-2e23f19cb684_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/8b883903-04b1-40ee-bcef-3a03570b5498_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/8b883903-04b1-40ee-bcef-3a03570b5498_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/e3eb5e20-a5f8-4cd4-ac85-f6d72c210345_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/e3eb5e20-a5f8-4cd4-ac85-f6d72c210345_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/2db3cddd-47be-4cbd-9951-e97700f7928a_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/2db3cddd-47be-4cbd-9951-e97700f7928a_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/7a0764da-ff35-473e-9974-f8bc9424829e_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/4416ab02-120f-4b3e-8a11-cfe36d5d6551_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/4416ab02-120f-4b3e-8a11-cfe36d5d6551_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/7ed8b3d4-374d-4a2c-9718-c3a625746026_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/7ed8b3d4-374d-4a2c-9718-c3a625746026_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Rozważmy trójkąt  ABC. Skoro jest on równoramienny, zatem jego wysokość AD dzieli kąt 120 stopni na połowę. Z własności trójkąta ADB (trójkąt prostokątny o kątach ostrych 30 i 60 stopni)  mamy, że <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/f964f784-0463-4aea-b94e-37b7a1f682b6_small.svg" type="image/svg+xml"></object> oraz
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/8453bfe9-06e6-4c5d-9384-794c53a8bc9a_big.svg" type="image/svg+xml"></object>

Rozważmy trapez ABCD. Wiemy, że ramię CD ma długość 2. Z własności trójkąta CDE wiemy, że <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/649c8cdc-11ce-4972-9a57-32889fcacec0_small.svg" type="image/svg+xml"></object> , czyli <object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/c498d662-3b3e-4f2f-80c4-903e7f0d94e2_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/c498d662-3b3e-4f2f-80c4-903e7f0d94e2_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Komentarze